極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (√(x2 − 3x) − x) を求めなさい。
f(x) = √(x2 − 3x) − xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 ln(1 + 3x)/sin(x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = ln(1 + 3x)/sin(x)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x2·e−0.5x とします。f′(1) を求めなさい。
f(x) = x2·e−0.5xx = 1
f′(1) =
4.微分むずかしい
f(x) = x3 − 15x2 + 63x − 5 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 − 15x2 + 63x − 5
x =
5.最適化ふつう
底面が正方形のふたのない箱に 32000 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。 高さ h を求めなさい。
V = 32000 cm³
h = cm
6.最適化むずかしい
ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 80 − 0.25q ユーロ、費用は C(q) = 2500 + 10q ユーロです。 利益が最大になる週の生産量 q を求めなさい。
p = 80 − 0.25qC = 2500 + 10q
q = 個
7.積分ふつう
I = ∫₁1.5 x·ln x dx を計算しなさい。
∫₁1.5 x ln x dx
I =
8.積分むずかしい
I = ∫₀2 x²·eˣ dx を計算しなさい。
∫₀2 x²eˣ dx
I =
3溶液
1.極限
答え: L = −1.5
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
共役な式を掛ける
f(x) = −3x/(√(x2 − 3x) + x)
x で割る
f(x) = −3/(√(1 + (−3)/x) + 1)
x → ∞ とする
L = −3/(1 + 1) = −1.5
答え
L = −1.5
2.極限
答え: L = 3
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
ロピタルの定理
L = limx→0 [3/(1 + 3x)]/[cos x]
x = 0 を代入する
L = 3/1 = 3
答え
L = 3
3.微分
答え: f′(1) = 0.9098
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則
f′(x) = u′v + uv′ = e−0.5x·(2x + (−0.5)·x2)
代入する
f′(1) = 0.6065·(2 + (−0.5)) = 0.9098
答え
f′(1) = 0.9098
4.微分
答え: x = 7
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 − 30x + 63 = 3·(x2 − 10x + 21)
f′(x) = 0 を解く
x = 3 または x = 7
どちらがどちらか
f″(x) = 6x − 30：極大では負、極小では正。
f″(3) = −12, f″(7) = 12
x = 7
答え
x = 7
5.最適化
答え: h = 20 cm
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての面積
S(x) = x² + 128000/x
導関数をゼロとおく
S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0 なので、これは最小です。
x³ = 64000 → x = 40 cm
高さと面積
h = 32000/40² = 20 cm
S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²
答え
h = 20 cm
最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。
6.最適化
答え: q = 140 個
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = (80 − 0.25q)·q − (2500 + 10q) = −0.25q2 + 70q − 2500
導関数をゼロとおく
P″(q) = −0.5 < 0 なので、これは最大です。
q = 70/0.5 = 140
価格と利益
p = 80 − 0.25·140 = €45
P = 70·140 − 0.25·140² − 2500 = €2400
答え
q = 140
7.積分
答え: I = 0.1436
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
u と dv を選ぶ
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
原始関数
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
極限
(1.125·ln 1.5 − 0.5625) − (0 − 0.25) = 0.1436
答え
I = 0.1436
8.積分
答え: I = 12.78
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
1 回目
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
2 回目
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
極限
7.389·(2) − 1·2 = 12.78
答え
I = 12.78
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