公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
クレジットカードの名目年利は 25%、月複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
€150 000 のローンを、年 4.2%、月複利で 25 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€21 000, €22 000, €11 000, €22 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
あるプロジェクトの費用は今日 €100 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €11 000 で、10 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 3% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
最終利回りが 6% のときに、残存期間 10 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4.5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 7.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 9 年後に満期を迎え、€860 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 6%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
ある会社の株式は 1 000 000 株で、€39.00 で取引されています。株主資本の簿価は €11 700 000 です。1 株あたり €2.80 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €31 200 000、税引前コストは 4% です。税率は 25% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
データの標本標準偏差 s を求めなさい：50, 38, 19, 52, 37, 45。
ある量は平均 50、標準偏差 10 の正規分布に従います。65 より大きい値の割合 P はいくつですか？
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
X は示された分布をもち、Y = 2X + 5 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.0228 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
袋の重さ は、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの上位 70% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
11 個からなる標本の平均は 54、標準偏差は s = 4 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
不良品の割合について事前には何もわかっていません。 割合の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.05 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
学生 64 人の標本の平均点は 101.8、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。
平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 4 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (9, 22) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
答え: EAR = 28.07 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
答え: I = 92524 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
答え: NPV = 19605 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
答え: NPV = −16949 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
答え: HPR = −4.043 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: YTM = 10.48 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: WACC = 6.339 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: WACC = 7.704 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: s = 12.02
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: P = 0.06681
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: σ = 11
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
答え: σY = 4.779
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均は変化します：E(Y) = 2·3.3 + 5 = 11.6。
答え: z = 2
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
表の中で 0.9772 を見つけ、z を読み取ります。
答え: x = 247.4 g
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
答え: 下限 = 51.31
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
答え: n = 664
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
答え: t = 1.2
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
|t| < 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
答え: n = 17
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
答え: r = 0.9977
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: e = −2.167
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
点は直線より下にあります。
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