公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
名目年利 6%、月複利で €5 000 を投資します。3 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
€150 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 5.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 で、4 年間、毎年末に €16 500 を生みます。資本コストは 8% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €6 000, €4 000, €2 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €12 000 で、€3 500, €4 500, €6 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
額面 €1 000 の債券が 7 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 5% のとき €942 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
ある会社は、価値 €10 000 000 の普通株、価値 €1 000 000 の優先株、価値 €4 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 11%、優先株のコストは 7.5%、税引前負債コストは 4.5% です。税率は 21% です。WACC を求めなさい。
ある会社の株主資本の時価は €5 000 000、株主資本コストは 14% です。負債は 5 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4%、残存期間 8 年）からなり、1 枚 €1 034 で取引されています。税率は 25% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
データの標本標準偏差 s を求めなさい：19, 55, 45, 50, 10, 46。
ある量は平均 500、標準偏差 75 の正規分布に従います。650 より小さい値の割合 P はいくつですか？
13 人のグループから 4 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
あるテストには選択問題が 10 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.2 で正解します。ちょうど 3 問正解する確率 P はいくつですか？
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.9768 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。全体の 95% がそれより下にある値 x（第 95 パーセンタイル）を求めなさい。
11 個からなる標本の平均は 19.5、標準偏差は s = 17.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
母標準偏差は 33 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
2 つの指導法を比べます。グループ 1：12 人の学生、平均点 110.5、標準偏差 7。グループ 2：9 人の学生、平均点 116.2、標準偏差 8.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
ある臨床試験で、治療 A の患者 300 人中 210 人、治療 B の患者 100 人中 63 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 4.5 のときの ŷ を予測しなさい。
答え: FV = 5983 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
答え: A = 912.2 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
答え: DPB = 3.617 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.03 年）より長くなります。
答え: r* = 4.59 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
確認：4.59% では両方の NPV が €1 141.46 です。
答え: c = 3.998 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: D = 3.679 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
答え: WACC = 8.781 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: WACC = 8.219 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: s = 18.38
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: P = 0.9772
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: N = 715
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
答え: P = 0.2013
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
答え: z = 2.27
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
表の中で 0.9884 を見つけ、z を読み取ります。
答え: x = 41.87 min
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
答え: E = 11.76
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
答え: n = 670
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
答え: t = −1.686
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
df = 19 のとき、両側 5% の臨界値は 2.093 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
答え: z = 1.302
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
答え: r² = 0.9541
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
y の変動の約 95.41% が直線で説明されます。
答え: ŷ = 20.28
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
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