公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
7 年後に €10 000 が必要です。口座の利率は年 5%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
€12 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、5 年間、毎年末に €9 500 を生みます。資本コストは 8% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
プロジェクト A の費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €23 000, €15 500, €9 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €42 000 で、€11 000, €18 000, €23 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
額面 €1 000 の債券が 7 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 4% のとき €1 060 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、4 年後に満期を迎えます。価格は €868 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 3%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1.1 です。負債資本比率を 0.75 にする計画です。税率は 20%、無リスク金利は 3%、市場リスクプレミアムは 4.5% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
データの標本標準偏差 s を求めなさい：42, 22, 24, 29, 42, 52, 52。
ある量は平均 100、標準偏差 5 の正規分布に従います。103 より小さい値の割合 P はいくつですか？
13 人のグループから 4 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
部品を 5 個試験し、各部品は独立に確率 0.2 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。178.35 から 185.35 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
走者 A の周回タイム X と走者 B の周回タイム Y は独立な正規変数です：X は平均 52 s、標準偏差 4 s、Y は平均 48 s、標準偏差 3 s です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
11 個からなる標本の平均は 41、標準偏差は s = 4 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
母標準偏差は 39 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
学生 100 人の標本の平均点は 52.4、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。
H₀: μ = 200 対 H₁: μ < 200 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 5 であることがわかっています。実際の平均は 197.1 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 3 のときの ŷ を予測しなさい。
答え: PV = 7052 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
答え: A = 352.2 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
答え: DPB = 3.79 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.158 年）より長くなります。
答え: r* = 8.602 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
確認：8.602% では両方の NPV が €1 346.45 です。
答え: c = 5 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: YTM = 9.003 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: WACC = 7.113 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: re = 10.92 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
答え: s = 12.62
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: P = 0.7257
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: N = 715
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
答え: P = 0.7373
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
答え: P = 0.3332
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
答え: P = 0.7881
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
答え: 上限 = 43.69
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
答え: n = 5844
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
答え: t = 2.4
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
|t| > 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
答え: β = 10.47 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
答え: r = −0.6564
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: ŷ = 38.2
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
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