公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
9 年後に €5 000 が必要です。口座の利率は年 3%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
€200 000 のローンを 30 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
あるプロジェクトの費用は今日 €40 000 で、1 年目から 5 年目の各年末に €14 500, €15 500, €9 500, €14 000, €11 000 を生みます。資本コストは 8% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
あるプロジェクトの費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €11 000, €10 500, €8 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 6% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 7 年後に満期を迎え、€1 085 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
ある会社は、価値 €8 000 000 の普通株、価値 €1 500 000 の優先株、価値 €6 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 9%、優先株のコストは 6.5%、税引前負債コストは 6% です。税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
ある企業は1 株 €10.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 21% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。
データの標本標準偏差 s を求めなさい：50, 50, 43, 10, 23, 49, 50。
ある量は平均 500、標準偏差 100 の正規分布に従います。400 より大きい値の割合 P はいくつですか？
公正なさいころを 7 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
あるテストには選択問題が 10 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.9556 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
電池の寿命 は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの下位 90% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
7 個からなる標本の平均は 102、標準偏差は s = 20 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
不良品の割合について事前には何もわかっていません。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.04 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
学生 81 人の標本の平均点は 77、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 3 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 14 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (4.5, 17) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
答え: PV = 3821 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
答え: A = 843.2 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
答え: DPB = 3.558 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.036 年）より長くなります。
答え: MIRR = 16.95 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
答え: P = 945.5 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
答え: YTM = 5.504 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: WACC = 6.998 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: WACC = 6.643 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: s = 16.2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: P = 0.8413
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: P = 0.7209
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
答え: P = 0.04395
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
答え: z = 2.01
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
表の中で 0.9778 を見つけ、z を読み取ります。
答え: x = 551 h
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
答え: E = 28.02
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
答え: n = 423
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
答え: t = 1.2
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
|t| < 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
答え: n = 219
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
答え: r = 0.9782
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: e = −4.2
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
点は直線より下にあります。
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