公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
名目年利 2%、月複利で €20 000 を投資します。3 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
19 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 7.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
ある機械の費用は今日 €50 000、耐用年数は 7 年、運転費は毎年 €5 000（各年末に支払い）です。資本コストは 10% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €6 000, €6 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 5 年後に満期を迎え、€935 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
ある企業は時価 €10 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 7%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
ある企業は1 株 €46.00 の株式 1 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 25.8% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 3%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。
データの標本標準偏差 s を求めなさい：37, 16, 56, 20, 53。
ある量は平均 100、標準偏差 5 の正規分布に従います。96 より小さい値の割合 P はいくつですか？
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
あるテストには選択問題が 5 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.4 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.7287 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。全体の 97.5% がそれより下にある値 x（第 97.5 パーセンタイル）を求めなさい。
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：50 台、平均 103 h、既知の標準偏差 17 h。機種 2：60 台、平均 90 h、既知の標準偏差 13 h。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
予備調査によると、製品の約 0.6 が不良品です。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.02 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
学生 49 人の標本の平均点は 105.1、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。
α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 2.5 単位のずれを検出力 90% で検出しなければなりません。標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 54 と予測するのは、どの値 x のときですか？
答え: FV = 21236 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
答え: FV = 48524 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
自分で払い込んだのは €22 800。残りは利息です。
答え: EAC = 15270 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
答え: IRR = 16.02 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
答え: P = 663 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
答え: YTM = 5.523 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: WACC = 9.536 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: WACC = 7.957 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: s = 18.34
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: P = 0.2119
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: Var(X) = 134
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
答え: P = 0.3456
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
答え: z = 1.1
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
表の中で 0.8643 を見つけ、z を読み取ります。
答え: x = 84.6 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
答え: 下限 = 7.253 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
答え: n = 1624
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
答え: t = 2.38
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
答え: n = 138
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
答え: r = 0.9564
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: x = 5.965
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
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