公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
名目年利 4.8%、四半期複利で €2 000 を投資します。6 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
€250 000 のローンを 30 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 7.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
ある機械の費用は今日 €20 000、耐用年数は 8 年、運転費は毎年 €1 000（各年末に支払い）です。資本コストは 10% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
あるプロジェクトの費用は €25 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €12 500, €13 500, €15 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 12% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
最終利回りが 2.5% のときに、残存期間 4 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 2% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
残存期間 16 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 8%）が €1 262 で売られています。発行者は 3 年後に €1 080 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
ある会社の株主資本の価値は €6 000 000、負債の価値は €2 000 000 です。WACC は 9.79%、税引前負債コストは 4%、税率は 21% です。株主資本コスト re を求めなさい。
ある会社の株主資本の時価は €12 000 000、株主資本コストは 12% です。負債は 2 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%、残存期間 11 年）からなり、1 枚 €1 040 で取引されています。税率は 20% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
データの標本標準偏差 s を求めなさい：36, 19, 48, 28, 45, 40, 59。
ある量は平均 50、標準偏差 15 の正規分布に従います。65 より大きい値の割合 P はいくつですか？
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
X は示された分布をもち、Y = 10X + 4 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.8904 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
試験の得点 は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。色つきの下位 70% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
16 個からなる標本の平均は 69.5、標準偏差は s = 9 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：6 区画、平均収量 71.5 kg、標準偏差 8 kg。区画群 2：8 区画、平均 66.5 kg、標準偏差 6.5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
学生 100 人の標本の平均点は 97.36、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。
α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 3 単位のずれを検出力 95% で検出しなければなりません。標準偏差は 18 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 7 のときの ŷ を予測しなさい。
答え: FV = 2663 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
答え: A = 1697 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
答え: EAC = 4749 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
答え: MIRR = 22.36 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
答え: HPR = 3.84 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: YTC = 1.608 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
最終利回りは 5.496% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
答え: re = 12 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: WACC = 10.88 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: s = 13.21
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: P = 0.1587
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: Var(X) = 126
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
答え: σY = 11.78
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均は変化します：E(Y) = 10·2.25 + 4 = 26.5。
答え: z = 1.6
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
表の中で 0.9452 を見つけ、z を読み取ります。
答え: x = 70.2 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
答え: 下限 = 62.87
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
答え: 下限 = −1.894 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
答え: t = −2.2
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
|t| > 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
答え: n = 568
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
答え: r² = 0.9146
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
y の変動の約 91.46% が直線で説明されます。
答え: ŷ = 31.17
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
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