データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

比較に基づくソートの最悪の場合の下界はどれですか？

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ナップサック問題のどの変種で、「重さあたりの価値の順に品物をとる」という貪欲な規則が常に最適解を与えますか？

  1. A両方の変種
  2. B品物を必ず丸ごととらなければならない 0/1 ナップサック問題
  3. C品物を分割できる分数ナップサック問題
  4. Dどちらの変種でもない
3.データ構造ふつう

AVL 木と赤黒木が保証するものは何ですか。

  1. Aどの場合でも定数時間での探索
  2. B2 つの子を持つノードが存在しないこと
  3. Cキーが挿入順に格納されること
  4. D再平衡化による O(log n) の高さ
4.データ構造むずかしい

根が 50、左部分木が 30（子は 20, 40）、右部分木が 70（子は 60, 80）の BST で、通りがけ順の後続ノードを使って根を削除します。新しい根になるキーはどれですか。

  1. A70
  2. B60
  3. C80
  4. D40
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 3 個, 次数 5 の頂点が 2 個, 次数 2 の頂点が 4 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 32 × deg 54 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
121516911131410874ABCDEFG

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 6 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 6
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 DF
  8. 8辺 EF
  9. 9辺 GB
  10. 10辺 GC
  11. 11辺 GD

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · Ω(n log n)

これが答えになる理由

どの比較ソートも、最悪の場合に少なくとも log₂(n!) ≈ n log n 回の比較が必要です。計数ソートは比較を行わないため、この下界を下回ることができます。

答え

A · Ω(n log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 品物を分割できる分数ナップサック問題

これが答えになる理由

品物を分割できる場合は、比率の最もよいものから選ぶのが最適です。0/1 ナップサックでは比率の高い品物がよりよい組み合わせを妨げることがあるので、動的計画法が必要です。

答え

C · 品物を分割できる分数ナップサック問題
3.データ構造

答え: D · 再平衡化による O(log n) の高さ

これが答えになる理由

自己平衡木は高さを対数オーダーに保つため、探索・挿入・削除は最悪の場合でも O(log n) です。

答え

D · 再平衡化による O(log n) の高さ
4.データ構造

答え: B · 60

これが答えになる理由

右部分木の最も左のノードは 60 なので、60 が 50 と置き換わり、元の位置からは取り除かれます。先行ノードを使えば 40 になります。

答え

B · 60
5.グラフ理論

答え: L = 11

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 27 = 2(L + 9) − 2
L = 11

答え

L = 11

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: 辺 AB

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. GD (4)
2. GC (7)
3. GB (8)
4. EF (10)
5. CE (11)
6. AB (12)

辺の番号 6

AB

答え

辺 AB

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