データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

1,000,000 要素のソート済み配列に対して、二分探索は最悪の場合およそ何回の比較を必要としますか？

A約 1,000 回
B約 500,000 回
C約 100 回
D約 20 回

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

シュトラッセンのアルゴリズムは、半分のサイズのブロックの再帰的な掛け算を 8 回ではなく 7 回にして行列を掛けます。実行時間は何ですか？

AΘ(n² log n)
BΘ(n³)
CΘ(n²)
DΘ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81

3.データ構造ふつう

負荷率がしきい値を超えた後にハッシュテーブルが再ハッシュ（rehash）すると、何が起こりますか。

A場所を空けるために最も古いキーが削除される
Bより大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される
C既存のキーがその場でソートされる
D衝突しているキーだけが、テーブルの末尾にある新しいオーバーフローリストに移される

4.データ構造むずかしい

あるオブジェクトをハッシュマップのキーとして格納した後、そのハッシュ関数で使われるフィールドを変更しました。起こりうる結果はどれですか。

Aマップが自動的にキーを新しいバケットに移す
Bキーのハッシュはプログラムの開始時に 1 回しか計算されないので、何も変わらない
Cフィールドが変更された瞬間にマップがエラーを投げる
Dオブジェクトは古いハッシュのバケットにあるので、検索に失敗することがある

5.グラフ理論ふつう

木に次数 3 の頂点が 4 個があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

4 × deg 3

L =

6.グラフ理論むずかしい

E から D への長さ 3 の歩道はいくつありますか？歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 3

N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 約 20 回

これが答えになる理由

2²⁰ ≈ 1,048,576 なので、約 20 回半分にすると要素は 1 つだけ残ります。

答え

D · 約 20 回

2.アルゴリズムと計算量

答え: D · Θ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81

これが答えになる理由

a = 7、b = 2 で、n^{log₂ 7} が O(n²) の加算の作業量より支配的なので、約 n^2.81 になります。

答え

D · Θ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81

3.データ構造

答え: B · より大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される

これが答えになる理由

インデックスはテーブルのサイズを法として計算されるので、すべてのキーを新しい大きなテーブルに再ハッシュしなければなりません。サイズを 2 倍にすれば、ならしで O(1) のままです。

答え

B · より大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される

4.データ構造

答え: D · オブジェクトは古いハッシュのバケットにあるので、検索に失敗することがある

これが答えになる理由

キーの位置は古いハッシュから選ばれました。新しいハッシュでは検索は誤ったバケットを探すので、キーは不変（immutable）であるべきです。

答え

D · オブジェクトは古いハッシュのバケットにあるので、検索に失敗することがある

5.グラフ理論

答え: L = 6

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 12 = 2(L + 4) − 2

L = 6

答え

L = 6

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: N = 6

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。K_n には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 0 1 1 0

C: 1 0 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 1

E: 0 1 1 1 0 1

F: 0 0 0 1 1 0

もう 1 歩

(M³)_ED = 2·0 + 1·1 + 0·0 + 2·0 + 4·1 + 1·1 = 6

答え

N = 6

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