データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

素朴な再帰によるフィボナッチ（fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)）の時間計算量はどれですか？

  1. A線形時間
  2. B対数時間
  3. C定数時間
  4. D指数時間
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) do O(1) work の時間計算量は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n √n)
3.データ構造ふつう

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、負荷率の最大値はいくつですか。

  1. A1
  2. B最大値はない
  3. C2
  4. D0.5
4.データ構造むずかしい

データベースがインデックスに通常の B 木ではなく B+ 木をよく使うのはなぜですか。

  1. Aすべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから
  2. BB+ 木は二分の内部ノードを使うので、ディスクの読み取りが減るから
  3. CB+ 木はデータを根にだけ格納するから
  4. DB+ 木は平衡を保つ必要がないから
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 10 個の頂点と 16 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 10|E| = 16
k =
6.グラフ理論むずかしい
41415714510113ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 指数時間

これが答えになる理由

呼び出し木はおよそ φⁿ（約 1.618ⁿ）のように増加します。メモ化によって O(n) に減らせます。

答え

D · 指数時間
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n log n)

これが答えになる理由

合計は n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn で、調和数 Hn は Θ(log n) です。

答え

B · O(n log n)
3.データ構造

答え: A · 1

これが答えになる理由

オープンアドレス法ではすべてのキーがテーブル自体に格納されるので、n は m を超えられません。チェイン法では負荷率が 1 を超えることがあります。

答え

A · 1
4.データ構造

答え: A · すべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから

これが答えになる理由

B+ 木では内部ノードは探索を導くだけで、葉はキーの順に連結されているので、範囲クエリは最初のキーを見つけた後、葉に沿って進みます。

答え

A · すべてのレコードが連結された葉にあるので、範囲の走査が効率的になるから
5.グラフ理論

答え: k = 7

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

10 − 1 = 9

取り除く辺

k = 16 − 9 = 7

答え

k = 7
6.グラフ理論

答え: d(F) = 25

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 4, C: 14
B (4): D: 11, G: 9
G (9): E: 12
D (11): F: 25
E (12)
C (14)
F (25)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 25

答え

d(F) = 25

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