データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

活動選択問題で、重ならない活動の数を常に最大にする貪欲な規則はどれですか？

  1. A最も早く始まる活動を選ぶ
  2. B最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す
  3. C重なりの最も少ない活動を先に選び、両立する活動で繰り返す
  4. D最も短い活動から選ぶ
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

停止問題（halting problem）が示していることはどれですか？

  1. A一部のプログラムは高速なコンピュータでより速く動作するので、停止するかどうかはハードウェアに依存するから
  2. Bすべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない
  3. Cすべてのプログラムはいずれ停止する
  4. Dループは避けるべきである
3.データ構造ふつう

無向グラフの隣接行列について正しいのはどれですか。

  1. A常に上三角行列である
  2. B主対角線には常に 1 が入っている
  3. C各行にちょうど 1 つの 1 がある
  4. D主対角線に関して対称である
4.データ構造むずかしい

ある AVL ノードは、その左の子の右部分木が高くなりすぎたために平衡が崩れています（左右の場合）。どのような修正が適用されますか。

  1. A左の子で右回転し、次にそのノードで左回転
  2. Bそのノードで 1 回の右回転
  3. Cそのノードで 1 回の左回転
  4. D左の子で左回転し、次にそのノードで右回転
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 3 個, 次数 4 の頂点が 4 個, 次数 5 の頂点が 3 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 34 × deg 43 × deg 5
L =
6.グラフ理論むずかしい
495371074ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す

これが答えになる理由

最も早い終了時刻を選ぶことは交換論法によって最適であると証明できます。他の規則には反例があります。

答え

B · 最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · すべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない

これが答えになる理由

Turing は停止問題が決定不能（undecidable）であることを示しました。判定器が存在すると仮定すると、その逆の動作をするプログラムとの間で矛盾が生じます。

答え

B · すべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない
3.データ構造

答え: D · 主対角線に関して対称である

これが答えになる理由

無向グラフでは辺 {u, v} は M[u][v] と M[v][u] の両方が設定されることを意味するので、行列はその転置と等しくなります。

答え

D · 主対角線に関して対称である
4.データ構造

答え: D · 左の子で左回転し、次にそのノードで右回転

これが答えになる理由

最初の回転によって左右の場合が左左の場合に変わり、それを平衡が崩れたノードでの右回転で修正します。

答え

D · 左の子で左回転し、次にそのノードで右回転
5.グラフ理論

答え: L = 22

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 40 = 2(L + 10) − 2
L = 22

答え

L = 22

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 14

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 4, C: 9
B (4): D: 7
D (7): E: 17, F: 14
C (9): E: 16
F (14)
E (16)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 14

答え

d(F) = 14

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