データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

for i = 1 to n: for j = 1 to i: do O(1) work の時間計算量は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n³)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

最後の 2 つの値だけを保持するループで n 番目のフィボナッチ数を計算する時間と領域のコストは何ですか？

  1. A時間 O(log n)、領域 O(n)
  2. B時間 O(n)、領域 O(n)
  3. C時間 O(n)、領域 O(1)
  4. D時間 O(2ⁿ)、領域 O(1)
3.データ構造ふつう

二分ヒープに新しい要素はどのように挿入されますか。

  1. Aより大きい要素をすべて 1 つ右にずらして、ソートされた位置に挿入する
  2. B根に置き、下へ移動させる（sift down）
  3. Cヒープ全体を一から作り直す
  4. D配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
4.データ構造むずかしい

ヒープソートについて正しい記述はどれですか。

  1. A安定で、O(n) の追加メモリを必要とする
  2. B追加の記憶領域として二分探索木を必要とするので、O(n) の追加メモリを使う
  3. C最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない
  4. Dどの入力に対しても O(n) 時間で動作する
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K8 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K8
H =
6.グラフ理論むずかしい
119913211145106ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n²)

これが答えになる理由

内側の本体は合計で n(n + 1) / 2 回実行され、これはやはり 2 乗です。

答え

A · O(n²)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 時間 O(n)、領域 O(1)

これが答えになる理由

各ステップに必要なのは直前の 2 つの値だけなので、ボトムアップ法の表を 2 つの変数で置き換えることができます。

答え

C · 時間 O(n)、領域 O(1)
3.データ構造

答え: D · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）

これが答えになる理由

末尾に追加することで木は完全なまま保たれ、親との交換によって O(log n) ステップで順序が回復します。

答え

D · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
4.データ構造

答え: C · 最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない

これが答えになる理由

ヒープソートは最大ヒープを構築し、同じ配列内で最大値を n 回取り出します。遠く離れた位置どうしの交換によって、等しいキーの順序が入れ替わることがあります。

答え

C · 最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない
5.グラフ理論

答え: H = 2520

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答え

H = 2520
6.グラフ理論

答え: d(F) = 22

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 11, C: 9
C (9): E: 22, G: 14
B (11): D: 20
G (14): E: 20
D (20): F: 22
E (20)
F (22)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 22

答え

d(F) = 22

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