データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

活動選択問題で、重ならない活動の数を常に最大にする貪欲な規則はどれですか？

  1. A最も早く始まる活動を選ぶ
  2. B最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す
  3. C最も短い活動から選ぶ
  4. D重なりの最も少ない活動を先に選び、両立する活動で繰り返す
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

クラス P の定義として正しいものはどれですか？

  1. Aどのコンピュータでも指数時間を必要とする問題
  2. B並列に解くことができる問題
  3. C解を多項式時間で検証できるが、見つけることは決してできない問題
  4. D決定性アルゴリズムによって多項式時間で解ける決定問題
3.データ構造ふつう

二分ヒープに新しい要素はどのように挿入されますか。

  1. Aより大きい要素をすべて 1 つ右にずらして、ソートされた位置に挿入する
  2. B根に置き、下へ移動させる（sift down）
  3. C配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
  4. Dヒープ全体を一から作り直す
4.データ構造むずかしい

ハッシュテーブルが正しく動作するためには、ハッシュと等価性はどの規則に従わなければなりませんか。

  1. A異なるキーは異なるハッシュ値をもたなければならない
  2. Bハッシュ値が等しければキーも等しい
  3. C等しいキーは等しいハッシュ値をもたなければならない
  4. Dハッシュ値は素数でなければならない
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 8 個の頂点と 9 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 8|E| = 9
k =
6.グラフ理論むずかしい
1011091012489ABCDEFG

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 6 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す

これが答えになる理由

最も早い終了時刻を選ぶことは交換論法によって最適であると証明できます。他の規則には反例があります。

答え

B · 最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · 決定性アルゴリズムによって多項式時間で解ける決定問題

これが答えになる理由

P には、グラフが連結かどうかの判定のように、決定性の多項式時間アルゴリズムをもつ決定問題が含まれます。

答え

D · 決定性アルゴリズムによって多項式時間で解ける決定問題
3.データ構造

答え: C · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）

これが答えになる理由

末尾に追加することで木は完全なまま保たれ、親との交換によって O(log n) ステップで順序が回復します。

答え

C · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
4.データ構造

答え: C · 等しいキーは等しいハッシュ値をもたなければならない

これが答えになる理由

等しい 2 つのキーのハッシュが異なれば、それらは異なるバケットに格納され、検索に失敗します。等しくないキーがハッシュを共有することはかまいません。

答え

C · 等しいキーは等しいハッシュ値をもたなければならない
5.グラフ理論

答え: k = 2

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

8 − 1 = 7

取り除く辺

k = 9 − 7 = 2

答え

k = 2
6.グラフ理論

答え: D

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 10, C: 1
2. C (1): E: 11
3. B (10): D: 19, G: 14
4. E (11): F: 23
5. G (14)
6. D (19)
7. F (23)

ラウンド 6

D

答え

D

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