データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

単純な再帰の階乗関数 fact(n) = n × fact(n − 1) はどれだけのスタック領域を使いますか？

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) do O(1) work の時間計算量は何ですか？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n √n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
3.データ構造ふつう

衝突したキーを同じバケット内のリストに格納する衝突解決法はどれですか。

  1. A二次探査法（Quadratic probing）
  2. B線形探査法（Linear probing）
  3. Cチェイン法（Separate chaining）
  4. Dダブルハッシュ法（Double hashing）
4.データ構造むずかしい

n 個の数の配列に対するフェニック木（Binary Indexed Tree）が O(log n) でサポートする操作はどれですか。

  1. A接頭辞和のクエリと単一要素の更新
  2. BO(1) での中央値の検索
  3. C配列のソートと二分探索
  4. D任意の位置への要素の挿入
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 17 個の頂点と 22 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 17|E| = 22
k =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

B を始点かつ終点とする、長さ 2 の閉じた歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n)

これが答えになる理由

どれかが戻る前に再帰は n 段の深さになり、各呼び出しにスタックフレームが必要なので、O(n) の領域を使います。

答え

D · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n log n)

これが答えになる理由

合計は n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn で、調和数 Hn は Θ(log n) です。

答え

A · O(n log n)
3.データ構造

答え: C · チェイン法（Separate chaining）

これが答えになる理由

チェイン法はバケットごとに連結リスト（または別の構造）を持ち、オープンアドレス法はテーブル内で別の空きスロットを探します。

答え

C · チェイン法（Separate chaining）
4.データ構造

答え: A · 接頭辞和のクエリと単一要素の更新

これが答えになる理由

フェニック木は各インデックスの下位ビットによって決まる範囲の部分和を格納するので、接頭辞和と一点更新のどちらも O(log n) で済みます。

答え

A · 接頭辞和のクエリと単一要素の更新
5.グラフ理論

答え: k = 6

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

17 − 1 = 16

取り除く辺

k = 22 − 16 = 6

答え

k = 6
6.グラフ理論

答え: N = 3

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

答え

N = 3

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