データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

到達可能な基底部をもたない再帰関数について、正しい記述はどれですか？

  1. Aコールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける
  2. Bコンパイラが常にそれを、安全に終了するループに変換する
  3. C自動的に 0 を返す
  4. DO(1) 時間で動作する
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定問題 X が NP 完全であることを証明するには、どの 2 つのことを示さなければなりませんか？

  1. AX が P の問題に帰着すること、および X が NP に属すること
  2. BX が P に属すること、および X が SAT に帰着すること
  3. CX に多項式アルゴリズムがないこと、および X が決定可能であること
  4. DX が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
3.データ構造ふつう

衝突したキーを同じバケット内のリストに格納する衝突解決法はどれですか。

  1. A二次探査法（Quadratic probing）
  2. B線形探査法（Linear probing）
  3. Cダブルハッシュ法（Double hashing）
  4. Dチェイン法（Separate chaining）
4.データ構造むずかしい

データベースやファイルシステムで B 木が使われるのはなぜですか。

  1. Aデータをソートせずに格納するから
  2. Bどの配列よりもメモリ使用量が少ないので、索引全体が常に主記憶に収まるから
  3. C分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから
  4. D再平衡化が不要だから
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 3 個, 次数 4 の頂点が 2 個, 次数 5 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.グラフ理論むずかしい
11596261414ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · コールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける

これが答えになる理由

基底部がないと再帰は決して止まりません。実際にはスタックフレーム用のメモリが尽き、プログラムがクラッシュします。

答え

A · コールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること

これが答えになる理由

NP への所属は X が NP より難しくないことを示し、既知の NP 完全問題からの帰着は X が NP 全体と少なくとも同じくらい難しいことを示します。

答え

D · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
3.データ構造

答え: D · チェイン法（Separate chaining）

これが答えになる理由

チェイン法はバケットごとに連結リスト（または別の構造）を持ち、オープンアドレス法はテーブル内で別の空きスロットを探します。

答え

D · チェイン法（Separate chaining）
4.データ構造

答え: C · 分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから

これが答えになる理由

B 木は 1 つのノードに多くのキーを格納するため高さが小さく、1 回の検索に必要なブロック読み込みが少なくて済みます。B+ 木はさらに範囲走査のために葉同士をつなぎます。

答え

C · 分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから
5.グラフ理論

答え: L = 15

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 27 = 2(L + 7) − 2
L = 15

答え

L = 15

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 16

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 1, C: 15
B (1): D: 10, E: 15
D (10): E: 12, F: 16
E (12)
C (15)
F (16)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 16

答え

d(F) = 16

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