データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

1、3、4 の硬貨で金額 6 をつくるとき、貪欲な「最大の硬貨から」方式は最適解と比べて何枚の硬貨を使いますか？

A貪欲法は 3 枚、最適解は 3 枚
B貪欲法は 4 枚、最適解は 3 枚
C貪欲法は 3 枚、最適解は 2 枚
D貪欲法は 2 枚、最適解は 2 枚

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

カラツバ乗算は T(n) = 3T(n/2) + O(n) を満たします。この解は何ですか？

AΘ(n log n)
BΘ(n³)
CΘ(n²)
DΘ(n^{log₂ 3})、約 n^1.585

3.データ構造ふつう

二分最小ヒープの extract-min はどのように動作しますか。

A最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）
Bすべての葉から新しい最小値を探す
C配列の最後の要素を取り除く
D根を取り除き、すべての要素を 1 つ左にずらす

4.データ構造むずかしい

二分ヒープにおける decrease-key（要素の位置が分かっている場合）の時間計算量はどれですか。

AO(1)
BO(n)
CO(n log n)
DO(log n)

5.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

6.グラフ理論むずかしい

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 10

W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 貪欲法は 3 枚、最適解は 2 枚

これが答えになる理由

貪欲法は 4 + 1 + 1 = 3 枚を使いますが、3 + 3 なら 2 枚で済むので、この硬貨体系では貪欲法は最適ではありません。動的計画法なら最適です。

答え

C · 貪欲法は 3 枚、最適解は 2 枚

2.アルゴリズムと計算量

答え: D · Θ(n^{log₂ 3})、約 n^1.585

これが答えになる理由

log₂ 3 ≈ 1.585 > 1 なので、マスター定理により葉が支配的となり、O(n²) の筆算の方法より優れています。

答え

D · Θ(n^{log₂ 3})、約 n^1.585

3.データ構造

答え: A · 最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）

これが答えになる理由

最後の要素が根の穴を埋め、ヒープ性が成り立つまでより小さい子と交換されます。これには O(log n) かかります。

答え

A · 最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）

4.データ構造

答え: D · O(log n)

これが答えになる理由

キーを減らした後、要素は最大でヒープの高さ分だけ上へ移動します（sift up）。フィボナッチヒープでは償却 O(1) の decrease-key が実現できます。

答え

D · O(log n)

5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇数次数の頂点

A, B, C, E → 4

どちらでもない

答え

どちらでもない

6.グラフ理論

答え: W = 42

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

AB (1): 取る

BC (2): 取る

BD (3): 取る

GD (9): 取る

AC (12): 飛ばす（閉路ができる）

EF (13): 取る

CE (14): 取る

重みの合計

W = 1 + 2 + 3 + 9 + 13 + 14 = 42

答え

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms