データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

単純な再帰の階乗関数 fact(n) = n × fact(n − 1) はどれだけのスタック領域を使いますか？

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ハッシュテーブルの平均探索時間が O(1) なのに、最悪の場合は O(n) になるのはなぜですか？

  1. A配列のアクセスが O(n) だから
  2. Bハッシュ関数が遅いから
  3. Cキーを先にソートする必要があるから
  4. D多くのキーが同じバケットで衝突（collision）する可能性があるから
3.データ構造ふつう

キーをソート済みの順序で挿入した場合、n 個のノードを持つ二分探索木の最悪の高さはいくつですか。

  1. A√n
  2. Blog₂ n
  3. Cn（連結リストのようになる）
  4. D1
4.データ構造むずかしい

ハッシュテーブルが正しく動作するためには、ハッシュと等価性はどの規則に従わなければなりませんか。

  1. Aハッシュ値が等しければキーも等しい
  2. Bハッシュ値は素数でなければならない
  3. C等しいキーは等しいハッシュ値をもたなければならない
  4. D異なるキーは異なるハッシュ値をもたなければならない
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 17 個の頂点と 20 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 17|E| = 20
k =
6.グラフ理論むずかしい
17115614107ABCDE

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n)

これが答えになる理由

どれかが戻る前に再帰は n 段の深さになり、各呼び出しにスタックフレームが必要なので、O(n) の領域を使います。

答え

B · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · 多くのキーが同じバケットで衝突（collision）する可能性があるから

これが答えになる理由

良いハッシュ関数と負荷率（load factor）であれば、バケットは平均して短く保たれます。悪意のある入力や質の悪いハッシュでは、すべてのキーが一つのバケットに入ることがあります。

答え

D · 多くのキーが同じバケットで衝突（collision）する可能性があるから
3.データ構造

答え: C · n（連結リストのようになる）

これが答えになる理由

ソート済みの挿入では高さ n の退化した木ができ、探索が O(n) になります。平衡木はこれを防ぎます。

答え

C · n（連結リストのようになる）
4.データ構造

答え: C · 等しいキーは等しいハッシュ値をもたなければならない

これが答えになる理由

等しい 2 つのキーのハッシュが異なれば、それらは異なるバケットに格納され、検索に失敗します。等しくないキーがハッシュを共有することはかまいません。

答え

C · 等しいキーは等しいハッシュ値をもたなければならない
5.グラフ理論

答え: k = 4

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

17 − 1 = 16

取り除く辺

k = 20 − 16 = 4

答え

k = 4
6.グラフ理論

答え: W = 29

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

BC (5): 取る
BD (6): 取る
BE (7): 取る
DE (10): 飛ばす（閉路ができる）
AC (11): 取る

重みの合計

W = 5 + 6 + 7 + 11 = 29

答え

W = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms