データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

n 要素の配列を一度ソートし、その後 k 回の所属判定クエリに二分探索で答えます。全体のコストは何ですか？

AO(k n log n)
BO(nk)
CO(n + k)
DO(n log n + k log n)

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

n 個の未ソート要素からボトムアップ法で二分ヒープを構築する時間計算量は何ですか？

AO(n log n)
BO(log n)
CO(n²)
DO(n)

3.データ構造ふつう

二分最小ヒープの extract-min はどのように動作しますか。

A配列の最後の要素を取り除く
B根を取り除き、すべての要素を 1 つ左にずらす
Cすべての葉から新しい最小値を探す
D最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）

4.データ構造むずかしい

単方向連結リストをその場で反転させる時間と追加領域のコストはどれですか。

A時間 O(n)、追加領域 O(n)
B時間 O(n)、追加領域 O(1)
C時間 O(1)、追加領域 O(1)
D時間 O(n log n)、追加領域 O(1)

5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₄ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₄

H =

6.グラフ理論むずかしい

E を始点かつ終点とする、長さ 3 の閉じた歩道はいくつありますか？歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 3

N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n log n + k log n)

これが答えになる理由

ソートのコストは O(n log n)、各クエリは O(log n) です。k が大きいとき、これは k 回の線形走査（O(nk)）より優れています。

答え

D · O(n log n + k log n)

2.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n)

これが答えになる理由

各段の sift-down のコストを合計すると収束する級数になるため、heapify は線形時間で実行されます。

答え

D · O(n)

3.データ構造

答え: D · 最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）

これが答えになる理由

最後の要素が根の穴を埋め、ヒープ性が成り立つまでより小さい子と交換されます。これには O(log n) かかります。

答え

D · 最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）

4.データ構造

答え: B · 時間 O(n)、追加領域 O(1)

これが答えになる理由

3 つのポインタ（前、現在、次）を保持すれば、新しいノードを確保せずに 1 回の走査で各リンクを反転できます。

答え

B · 時間 O(n)、追加領域 O(1)

5.グラフ理論

答え: H = 3

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答え

H = 3

6.グラフ理論

答え: N = 2

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。K_n には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 0 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 0 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

もう 1 歩

(M³)_EE = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 0·1 + 3·0 = 2

答え

N = 2

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