データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

到達可能な基底部をもたない再帰関数について、正しい記述はどれですか？

  1. Aコールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける
  2. Bコンパイラが常にそれを、安全に終了するループに変換する
  3. C自動的に 0 を返す
  4. DO(1) 時間で動作する
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

クック－レビンの定理は何を確立しましたか？

  1. Aすべての NP 問題が指数時間で解けること
  2. BP が NP と等しくないこと
  3. C停止問題が決定不能であること
  4. Dブール充足可能性問題（SAT）が NP 完全であること
3.データ構造ふつう

二分探索木のあるノードが右部分木をもっています。その通りがけ順での次のノード（後続ノード）はどこにありますか。

  1. A右部分木の最も左のノード
  2. B常にその親
  3. C左部分木の最も右のノード
  4. D常にその右の子
4.データ構造むずかしい

ブルームフィルタは「この要素は集合に含まれるか」という問いにどのように答えますか。

  1. A偽陰性はあり得るが、偽陽性はない
  2. B偽陽性はあり得るが、偽陰性はない
  3. C数値に対してのみ答えられる
  4. D常に正確な答えを返す
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K5 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K5
H =
6.グラフ理論むずかしい
5572614715ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · コールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける

これが答えになる理由

基底部がないと再帰は決して止まりません。実際にはスタックフレーム用のメモリが尽き、プログラムがクラッシュします。

答え

A · コールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · ブール充足可能性問題（SAT）が NP 完全であること

これが答えになる理由

クックとレビンは独立に、NP のすべての問題が多項式時間で SAT に帰着することを示したので、SAT は最初に知られた NP 完全問題となりました。

答え

D · ブール充足可能性問題（SAT）が NP 完全であること
3.データ構造

答え: A · 右部分木の最も左のノード

これが答えになる理由

そのノードに近い大きいキーはすべて右部分木にあり、その中で最小のものはそこでの最も左のノードです。

答え

A · 右部分木の最も左のノード
4.データ構造

答え: B · 偽陽性はあり得るが、偽陰性はない

これが答えになる理由

ある要素に対応するビットのどれかが 0 なら確実に存在せず、すべて 1 ならおそらく存在します。ブルームフィルタは精度と引き換えに非常に少ないメモリで済みます。

答え

B · 偽陽性はあり得るが、偽陰性はない
5.グラフ理論

答え: H = 12

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答え

H = 12
6.グラフ理論

答え: d(F) = 14

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 5, C: 5
B (5): D: 12, E: 20
C (5): E: 7
E (7): F: 14
D (12)
F (14)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 14

答え

d(F) = 14

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