データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

活動選択問題で、重ならない活動の数を常に最大にする貪欲な規則はどれですか？

  1. A重なりの最も少ない活動を先に選び、両立する活動で繰り返す
  2. B最も短い活動から選ぶ
  3. C最も早く始まる活動を選ぶ
  4. D最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ソート済み配列における比較に基づく探索が、最悪の場合 Ω(log n) 回の比較を必要とするのはなぜですか？

  1. A比較 1 回ごとに対数時間がかかるから
  2. Bすべての要素を少なくとも一度比較しなければならないから
  3. C二分探索が唯一可能なアルゴリズムであり、log₂ n 回の比較が必要だから
  4. Dn 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
3.データ構造ふつう

二分探索木で最小のキーはどのように見つけますか。

  1. A根から左の子がなくなるまで左の子をたどる
  2. B根から右の子がなくなるまで右の子をたどる
  3. Cすべての葉を訪問して比べる
  4. D根だけを見る
4.データ構造むずかしい

二分ヒープにおける decrease-key（要素の位置が分かっている場合）の時間計算量はどれですか。

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
73185620911121517ABCDEFG

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 3 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 3
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BD
  4. 4辺 CE
  5. 5辺 DE
  6. 6辺 DF
  7. 7辺 EF
  8. 8辺 GB
  9. 9辺 GC
  10. 10辺 GD
  11. 11辺 GE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す

これが答えになる理由

最も早い終了時刻を選ぶことは交換論法によって最適であると証明できます。他の規則には反例があります。

答え

D · 最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · n 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから

これが答えになる理由

各比較は残りの可能性の集合を高々半分にするだけなので、n 個の位置を区別するには少なくとも log₂ n 回の比較が必要です。

答え

D · n 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
3.データ構造

答え: A · 根から左の子がなくなるまで左の子をたどる

これが答えになる理由

最も左のノードより小さいキーは木の中にないので、それが最小値です。コストは高さに比例します。

答え

A · 根から左の子がなくなるまで左の子をたどる
4.データ構造

答え: C · O(log n)

これが答えになる理由

キーを減らした後、要素は最大でヒープの高さ分だけ上へ移動します（sift up）。フィボナッチヒープでは償却 O(1) の decrease-key が実現できます。

答え

C · O(log n)
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: 辺 DE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. AC (3)
2. CE (5)
3. DE (6)
4. AB (7)
5. EF (9)
6. GB (11)

辺の番号 3

DE

答え

辺 DE

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