データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

比較に基づくソートの最悪の場合の下界はどれですか？

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

どんな入力に対してもクイックソートの期待（expected）実行時間を O(n log n) にする手法はどれですか？

  1. Aクイックソートを実行する前に入力をソートする
  2. Bピボットを一様ランダムに選ぶ
  3. C左側にのみ再帰を使う
  4. D常に先頭の要素を選ぶ
3.データ構造ふつう

2 つのスタックでキューを実装します。「in」スタックに push し、「out」スタックから pop し、「out」が空になったら「in」から補充します。1 回の操作あたりのならしコストはどれですか。

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.データ構造むずかしい

根が 50、左部分木が 30（子は 20, 40）、右部分木が 70（子は 60, 80）の BST で、通りがけ順の後続ノードを使って根を削除します。新しい根になるキーはどれですか。

  1. A60
  2. B40
  3. C80
  4. D70
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 5 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 5
L =
6.グラフ理論むずかしい
5161381118179314ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 11
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · Ω(n log n)

これが答えになる理由

どの比較ソートも、最悪の場合に少なくとも log₂(n!) ≈ n log n 回の比較が必要です。計数ソートは比較を行わないため、この下界を下回ることができます。

答え

C · Ω(n log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · ピボットを一様ランダムに選ぶ

これが答えになる理由

ランダムなピボットを使うと、すべての入力に対して期待実行時間は O(n log n) になります。悪いケースは依然として存在しますが、起こる確率は非常に低くなります。

答え

B · ピボットを一様ランダムに選ぶ
3.データ構造

答え: D · O(1)

これが答えになる理由

各要素は合計で高々 2 回ずつ push と pop されるので、1 回の補充に O(n) かかることがあっても、操作列全体の平均は O(1) です。

答え

D · O(1)
4.データ構造

答え: A · 60

これが答えになる理由

右部分木の最も左のノードは 60 なので、60 が 50 と置き換わり、元の位置からは取り除かれます。先行ノードを使えば 40 になります。

答え

A · 60
5.グラフ理論

答え: L = 8

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 10 = 2(L + 2) − 2
L = 8

答え

L = 8

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: W = 44

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

AC (1): 取る
GD (3): 取る
AB (5): 取る
BC (6): 飛ばす（閉路ができる）
CE (8): 取る
GC (9): 取る
DE (11): 飛ばす（閉路ができる）
BD (13): 飛ばす（閉路ができる）
GE (14): 飛ばす（閉路ができる）
GB (17): 飛ばす（閉路ができる）
EF (18): 取る

重みの合計

W = 1 + 3 + 5 + 8 + 9 + 18 = 44

答え

W = 44

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