データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

到達可能な基底部をもたない再帰関数について、正しい記述はどれですか？

  1. Aコンパイラが常にそれを、安全に終了するループに変換する
  2. Bコールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける
  3. CO(1) 時間で動作する
  4. D自動的に 0 を返す
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

クラス NP の定義として正しいものはどれですか？

  1. A多項式時間で解けない問題
  2. B多項式でない問題
  3. C証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題
  4. Dどのアルゴリズムでも解けない問題
3.データ構造ふつう

ある道路網には 100,000 の交差点があり、それぞれが約 4 つの他の交差点とつながっています。最も適した表現はどれですか。

  1. A辺の二分ヒープ
  2. B隣接リスト
  3. C頂点の 1 つのソート済み配列
  4. D隣接行列
4.データ構造むずかしい

赤黒木が満たさなければならない性質はどれですか。

  1. Aあるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい
  2. B根は赤でなければならない
  3. Cすべての赤ノードの子は赤でなければならないので、赤ノードは葉まで途切れなく連なる
  4. Dすべてのノードが赤でなければならない
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 5 の頂点が 4 個, 次数 2 の頂点が 4 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

4 × deg 54 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
841171413620ABCDEF

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · コールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける

これが答えになる理由

基底部がないと再帰は決して止まりません。実際にはスタックフレーム用のメモリが尽き、プログラムがクラッシュします。

答え

B · コールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題

これが答えになる理由

NP の問題では、たとえば与えられた割り当てがブール式を充足することの確認のように、提案された解（証拠）をすばやく検証できます。

答え

C · 証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題
3.データ構造

答え: B · 隣接リスト

これが答えになる理由

行列では 1010 個のセルが必要になり、そのほとんどが空です。隣接リストなら約 400,000 個の辺の項目だけを格納すれば済みます。

答え

B · 隣接リスト
4.データ構造

答え: A · あるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい

これが答えになる理由

赤黒木の規則：ノードは赤か黒、根は黒、赤ノードの子は黒、すべての経路の黒高さが等しい。これにより高さは ≤ 2 log₂(n + 1) に保たれます。

答え

A · あるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい
5.グラフ理論

答え: L = 14

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

答え

L = 14

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: W = 41

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

BC (1): 取る
AC (4): 取る
EF (6): 取る
AB (8): 飛ばす（閉路ができる）
DF (13): 取る
DE (14): 飛ばす（閉路ができる）
BD (17): 取る

重みの合計

W = 1 + 4 + 6 + 13 + 17 = 41

答え

W = 41

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