データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

カラツバ乗算は T(n) = 3T(n/2) + O(n) を満たします。この解は何ですか？

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(nlog₂ 3)、約 n1.585
3.データ構造ふつう

隣接行列を使って辺 (u, v) が存在するかを調べるのにどれだけ時間がかかりますか。

  1. AO(log V)
  2. BO(1)
  3. CO(V)
  4. DO(E)
4.データ構造むずかしい

単方向連結リストをその場で反転させる時間と追加領域のコストはどれですか。

  1. A時間 O(n)、追加領域 O(n)
  2. B時間 O(1)、追加領域 O(1)
  3. C時間 O(n log n)、追加領域 O(1)
  4. D時間 O(n)、追加領域 O(1)
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 4 の頂点が 2 個, 次数 5 の頂点が 3 個, 次数 2 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
1018137163914ABCDEF

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 2
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BD
  4. 4辺 CE
  5. 5辺 DE
  6. 6辺 DF
  7. 7辺 EF
  8. 8辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(2ⁿ)

これが答えになる理由

呼び出しの数は段階ごとに 2 倍になり、段階は n 個あるので、ハノイの塔のように合計は約 2ⁿ になります。

答え

C · O(2ⁿ)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · Θ(nlog₂ 3)、約 n1.585

これが答えになる理由

log₂ 3 ≈ 1.585 > 1 なので、マスター定理により葉が支配的となり、O(n²) の筆算の方法より優れています。

答え

D · Θ(nlog₂ 3)、約 n1.585
3.データ構造

答え: B · O(1)

これが答えになる理由

行 u、列 v の要素を見れば、辺が存在するかどうかがすぐにわかります。隣接リストでは u の隣接頂点を走査する必要があるかもしれません。

答え

B · O(1)
4.データ構造

答え: D · 時間 O(n)、追加領域 O(1)

これが答えになる理由

3 つのポインタ（前、現在、次）を保持すれば、新しいノードを確保せずに 1 回の走査で各リンクを反転できます。

答え

D · 時間 O(n)、追加領域 O(1)
5.グラフ理論

答え: L = 15

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 27 = 2(L + 7) − 2
L = 15

答え

L = 15

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: 辺 CE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. DF (3)
2. CE (7)
3. EF (9)
4. AB (10)
5. BD (13)

辺の番号 2

CE

答え

辺 CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms