データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ソート済み配列で、両端から 1 つずつポインタを内側へ動かして、和が目標値になる 2 つの要素を探します。時間計算量は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

どんな入力に対してもクイックソートの期待（expected）実行時間を O(n log n) にする手法はどれですか？

  1. A左側にのみ再帰を使う
  2. Bクイックソートを実行する前に入力をソートする
  3. C常に先頭の要素を選ぶ
  4. Dピボットを一様ランダムに選ぶ
3.データ構造ふつう

二分探索木を中間順（in-order）でたどると、キーはどの順序で訪問されますか。

  1. Aレベル順
  2. B常に降順
  3. C挿入順
  4. D昇順
4.データ構造むずかしい

get と put が O(1) の LRU（least recently used）キャッシュを実現できるデータ構造はどれですか。

  1. A二分探索木のみ
  2. Bスタックのみ
  3. C単一のソート済み配列
  4. Dハッシュマップと双方向連結リストの組み合わせ
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 4 個, 次数 4 の頂点が 2 個, 次数 5 の頂点が 3 個, 次数 2 の頂点が 3 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

4 × deg 32 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
96122018121541711ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 11
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n)

これが答えになる理由

和が小さすぎれば左のポインタを右へ、大きすぎれば右のポインタを左へ動かすので、ステップは高々 n 回です。

答え

B · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · ピボットを一様ランダムに選ぶ

これが答えになる理由

ランダムなピボットを使うと、すべての入力に対して期待実行時間は O(n log n) になります。悪いケースは依然として存在しますが、起こる確率は非常に低くなります。

答え

D · ピボットを一様ランダムに選ぶ
3.データ構造

答え: D · 昇順

これが答えになる理由

左部分木、ノード、右部分木の順に訪問すると、BST のキーがソート順に出力されます。

答え

D · 昇順
4.データ構造

答え: D · ハッシュマップと双方向連結リストの組み合わせ

これが答えになる理由

ハッシュマップでノードを O(1) で見つけ、双方向連結リストでアクセスした要素を先頭へ移動し、末尾から追い出す処理を O(1) で行います。

答え

D · ハッシュマップと双方向連結リストの組み合わせ
5.グラフ理論

答え: L = 19

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 41 = 2(L + 12) − 2
L = 19

答え

L = 19

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: W = 34

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

BD (1): 取る
CE (2): 取る
GC (4): 取る
BC (6): 取る
AB (9): 取る
GE (11): 飛ばす（閉路ができる）
EF (12): 取る

重みの合計

W = 1 + 2 + 4 + 6 + 9 + 12 = 34

答え

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms