データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

O(n²) のアルゴリズムは O(n³) でもあると言うのは正しいですか？

  1. Aいいえ。n が大きいとき n³ は n² より小さいから
  2. Bいいえ。Big O は常に関数の正確な増加率を述べなければならないから
  3. Cはい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
  4. Dはい。ただし n が 100 より小さい場合に限る
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

クラス NP の定義として正しいものはどれですか？

  1. A多項式時間で解けない問題
  2. Bどのアルゴリズムでも解けない問題
  3. C証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題
  4. D多項式でない問題
3.データ構造ふつう

同じ長さの連結リストを走査するより、配列を走査する方が実際にはずっと速いことが多いのはなぜですか。

  1. A連結リストは常に要素をディスクに格納するから
  2. B配列では値を比較する命令が少なくて済むから
  3. C配列の要素は連続しているので、CPU キャッシュを有効に使えるから
  4. D配列の走査は全体で O(1)、連結リストの走査は O(n) だから
4.データ構造むずかしい

二分ヒープにおける decrease-key（要素の位置が分かっている場合）の時間計算量はどれですか。

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 11 個の頂点と 11 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 11|E| = 11
k =
6.グラフ理論むずかしい
219181310154ABCDE

プリム法は、頂点 A から始めて最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ak = 2
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから

これが答えになる理由

Big O は上界なので、この記述は正しいですがタイトではありません。正確な増加率を述べるのは Θ(n²) です。

答え

C · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題

これが答えになる理由

NP の問題では、たとえば与えられた割り当てがブール式を充足することの確認のように、提案された解（証拠）をすばやく検証できます。

答え

C · 証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題
3.データ構造

答え: C · 配列の要素は連続しているので、CPU キャッシュを有効に使えるから

これが答えになる理由

連続したメモリは参照の局所性がよい一方、連結されたノードはばらばらに配置されていることがあり、多くのキャッシュミスを引き起こします。

答え

C · 配列の要素は連続しているので、CPU キャッシュを有効に使えるから
4.データ構造

答え: D · O(log n)

これが答えになる理由

キーを減らした後、要素は最大でヒープの高さ分だけ上へ移動します（sift up）。フィボナッチヒープでは償却 O(1) の decrease-key が実現できます。

答え

D · O(log n)
5.グラフ理論

答え: k = 1

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

11 − 1 = 10

取り除く辺

k = 11 − 10 = 1

答え

k = 1
6.グラフ理論

答え: 辺 BE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. AB (2)
2. BE (4)
3. CE (10)
4. BD (13)

辺の番号 2

BE

答え

辺 BE

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