データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

新しい問題 X が NP 困難であることを示すには、何をしなければなりませんか？

  1. AX には小さな入力に対する多項式アルゴリズムがないことを示す
  2. BX を多項式時間で検証できることを示す
  3. CX を多項式時間で既知の NP 困難な問題に帰着させる
  4. D既知の NP 困難な問題を多項式時間で X に帰着させる
3.データ構造ふつう

連結リストにおける番兵（ダミー）ノードの目的は何ですか。

  1. A先頭や末尾での特別な場合をなくしてコードを単純にする
  2. Bリストをソートされた状態にする
  3. C要素の数を格納する
  4. Dリストのノード数が決まった最大値を超えて増えないようにする
4.データ構造むずかしい

n 個の数からなるストリームから、O(k) のメモリで最小の k 個の値を保持しなければなりません。O(n log k) 時間で動作する方法はどれですか。

  1. A最後の k 個の値の FIFO キュー
  2. Bn 個すべての値のソート済み配列
  3. Cn 個すべての値を保持する最小ヒープで、最後に小さい方から k 個を取り出す
  4. Dサイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 3 個, 次数 2 の頂点が 3 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 33 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
7311121511210ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n)

これが答えになる理由

マスター定理により nlog₂ 2 = n が定数の作業量より支配的なので、半分に分割して最大値を求める場合のように T(n) = Θ(n) です。

答え

A · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · 既知の NP 困難な問題を多項式時間で X に帰着させる

これが答えになる理由

既知の困難な問題を効率よく X に変換できれば、X に対する高速なアルゴリズムは既知の問題も解くことになります。

答え

D · 既知の NP 困難な問題を多項式時間で X に帰着させる
3.データ構造

答え: A · 先頭や末尾での特別な場合をなくしてコードを単純にする

これが答えになる理由

番兵があれば実際のすべてのノードに前のノードがあるので、先頭での挿入や削除に特別な処理が不要になります。

答え

A · 先頭や末尾での特別な場合をなくしてコードを単純にする
4.データ構造

答え: D · サイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える

これが答えになる理由

最大ヒープの根は保持している値の最大値です。それより小さい新しい値は O(log k) でそれと置き換わるので、ヒープは常にそれまでの最小の k 個を保持します。

答え

D · サイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える
5.グラフ理論

答え: L = 5

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 15 = 2(L + 6) − 2
L = 5

答え

L = 5

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 30

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 7, C: 3
C (3): E: 18
B (7): D: 19, E: 17
E (17): D: 18
D (18): F: 30
F (30)

最短経路

A → B → E → D → F
d(F) = 30

答え

d(F) = 30

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