データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

for i = 1 to n: for j = 1 to i: do O(1) work の時間計算量は何ですか？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定問題 X が NP 完全であることを証明するには、どの 2 つのことを示さなければなりませんか？

  1. AX が P の問題に帰着すること、および X が NP に属すること
  2. BX に多項式アルゴリズムがないこと、および X が決定可能であること
  3. CX が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
  4. DX が P に属すること、および X が SAT に帰着すること
3.データ構造ふつう

配列に格納された二分最小ヒープ（インデックスは 0 から）において、インデックス i のノードの子はどこにありますか。

  1. A2i と 2i + 1
  2. B2i + 1 と 2i + 2
  3. Ci/2 と i/2 + 1
  4. Di + 1 と i + 2
4.データ構造むずかしい

n 要素の二分最小ヒープで任意のキーを探索するのにどれだけ時間がかかりますか。

  1. AO(log log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 6 個の頂点と 11 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 6|E| = 11
k =
6.グラフ理論むずかしい
11619981114ABCDE

プリム法は、頂点 E から始めて最小全域木をつくります。それが 3 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ek = 3
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n²)

これが答えになる理由

内側の本体は合計で n(n + 1) / 2 回実行され、これはやはり 2 乗です。

答え

D · O(n²)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること

これが答えになる理由

NP への所属は X が NP より難しくないことを示し、既知の NP 完全問題からの帰着は X が NP 全体と少なくとも同じくらい難しいことを示します。

答え

C · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
3.データ構造

答え: B · 2i + 1 と 2i + 2

これが答えになる理由

0 始まりの配列では、左の子は 2i + 1、右の子は 2i + 2、親は ⌊(i − 1)/2⌋ にあります。

答え

B · 2i + 1 と 2i + 2
4.データ構造

答え: D · O(n)

これが答えになる理由

ヒープには、どちらの部分木にキーが含まれるかについての規則がないので、最悪の場合すべてのノードを調べなければなりません。すばやく見つけられるのは最小値だけです。

答え

D · O(n)
5.グラフ理論

答え: k = 6

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

6 − 1 = 5

取り除く辺

k = 11 − 5 = 6

答え

k = 6
6.グラフ理論

答え: 辺 BD

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. CE (8)
2. DE (11)
3. BD (9)
4. AB (1)

辺の番号 3

BD

答え

辺 BD

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