データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

標準的な 3 重ループで 2 つの n × n 行列を掛ける時間計算量は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n² log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

どんな入力に対してもクイックソートの期待（expected）実行時間を O(n log n) にする手法はどれですか？

  1. Aピボットを一様ランダムに選ぶ
  2. B左側にのみ再帰を使う
  3. C常に先頭の要素を選ぶ
  4. Dクイックソートを実行する前に入力をソートする
3.データ構造ふつう

固定のアルファベットをもつトライで、長さ L の単語を探索するのにどれだけ時間がかかりますか。

  1. A格納されている単語の数に関係なく O(L)
  2. B単語の数を n として O(n)
  3. CO(L × n)
  4. D単語の数を n として O(log n)
4.データ構造むずかしい

標準的なブルームフィルタから、ビットをクリアするだけで要素を削除できないのはなぜですか。

  1. Aブルームフィルタのビットは作成後に変更できないから
  2. Bそれらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから
  3. C削除すると偽陽性率が 100% に上がるから
  4. Dブルームフィルタは要素全体を格納しており、いったんハッシュ化されると再び見つけられないから
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 2 個, 次数 4 の頂点が 2 個, 次数 5 の頂点が 3 個, 次数 2 の頂点が 3 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 32 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
1412121185855ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から C までの最短経路の長さd(C)を求めてください。

始点：A終点：C
d(C) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n³)

これが答えになる理由

要素は n² 個あり、それぞれに n 回の掛け算が必要なので、n³ 回の演算になります。

答え

B · O(n³)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · ピボットを一様ランダムに選ぶ

これが答えになる理由

ランダムなピボットを使うと、すべての入力に対して期待実行時間は O(n log n) になります。悪いケースは依然として存在しますが、起こる確率は非常に低くなります。

答え

A · ピボットを一様ランダムに選ぶ
3.データ構造

答え: A · 格納されている単語の数に関係なく O(L)

これが答えになる理由

各文字が 1 つの子を選ぶので、トライにいくつの単語が含まれていても、検索は L ステップで済みます。

答え

A · 格納されている単語の数に関係なく O(L)
4.データ構造

答え: B · それらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから

これが答えになる理由

共有されたビットをクリアすると、別の要素が存在しないように見えてしまいます。カウンティング・ブルームフィルタは削除を可能にするために、ビットの代わりにカウンタを保持します。

答え

B · それらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから
5.グラフ理論

答え: L = 17

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 35 = 2(L + 10) − 2
L = 17

答え

L = 17

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(C) = 5

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 1
B (1): C: 5, D: 2, G: 6
D (2): E: 14, F: 13
C (5): E: 7
G (6)
E (7)
F (13)

最短経路

A → B → C
d(C) = 5

答え

d(C) = 5

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