データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

素朴な再帰によるフィボナッチ（fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)）の時間計算量はどれですか？

  1. A定数時間
  2. B線形時間
  3. C対数時間
  4. D指数時間
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

挿入ソートはソート済みの入力に対して O(n) で動作します。これは比較ソートの Ω(n log n) の下界と矛盾しますか？

  1. Aはい。したがって下界は誤りである
  2. Bいいえ。挿入ソートは比較ソートではないから
  3. Cはい。ただし 100 より短い配列の場合に限る
  4. Dいいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
3.データ構造ふつう

「{[()]}」の括弧の対応がとれているかを調べるのに使われるデータ構造はどれですか。

  1. Aハッシュテーブル
  2. Bスタック
  3. C二分探索木
  4. Dキュー
4.データ構造むずかしい

ある動的配列は満杯になるとサイズを 2 倍にします。多くの実装が、半分ではなく 4 分の 1 まで減ったときにだけ縮小するのはなぜですか。

  1. Aメモリアロケータはブロックの 4 分の 1 単位でしかメモリを解放できないから
  2. B配列をソートされた状態に保つため
  3. C半分で半減させると要素が失われるから
  4. D境界付近で push と pop が交互に起こるときに、サイズ変更が繰り返されるのを避けるため
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

D から F への長さ 2 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 指数時間

これが答えになる理由

呼び出し木はおよそ φⁿ（約 1.618ⁿ）のように増加します。メモ化によって O(n) に減らせます。

答え

D · 指数時間
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない

これが答えになる理由

この下界は、どの比較ソートもサイズ n のある入力に対して約 n log n 回の比較を必要とすることを述べています。特別な入力ではずっと速くなりえます。

答え

D · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
3.データ構造

答え: B · スタック

これが答えになる理由

開き括弧ごとに push し、閉じ括弧が現れたら pop します。それは pop した括弧と対応していなければならず、最後にスタックは空でなければなりません。

答え

B · スタック
4.データ構造

答え: D · 境界付近で push と pop が交互に起こるときに、サイズ変更が繰り返されるのを避けるため

これが答えになる理由

半分で縮小すると、そのような操作列では毎回の操作でサイズ変更が起こりえます。4 分の 1 と満杯の間の幅があることで、ならしコストが O(1) に保たれます。

答え

D · 境界付近で push と pop が交互に起こるときに、サイズ変更が繰り返されるのを避けるため
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: N = 1

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 0 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)DF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·1 + 1·1 + 1·0 = 1

答え

N = 1

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