データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

n 要素の配列に対するマージソートの再帰は何段階になりますか？

  1. A約 n / 2
  2. B約 log₂ n
  3. C約 n
  4. D約 √n
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

クラス P の定義として正しいものはどれですか？

  1. A解を多項式時間で検証できるが、見つけることは決してできない問題
  2. B並列に解くことができる問題
  3. Cどのコンピュータでも指数時間を必要とする問題
  4. D決定性アルゴリズムによって多項式時間で解ける決定問題
3.データ構造ふつう

循環バッファ（リングバッファ）は一般的に何を実装するために使われますか。

  1. A二分探索木
  2. B固定サイズのキュー
  3. Cグラフ探索
  4. Dハッシュ関数
4.データ構造むずかしい

循環バッファでは、front == rear は空と満杯のどちらも意味しえます。これらを区別する一般的な方法はどれですか。

  1. Afront と rear を同じ変数に格納する
  2. Bバッファのサイズを 2 のべき乗にする
  3. C要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく
  4. Dfront と rear が等しいときは常にバッファをクリアして、空の状態にする
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K5 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K5
H =
6.グラフ理論むずかしい
133918111017141ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 約 log₂ n

これが答えになる理由

n から 1 まで半分にしていくには約 log₂ n 段階かかり、各段階で O(n) のマージ作業を行うので、O(n log n) になります。

答え

B · 約 log₂ n
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · 決定性アルゴリズムによって多項式時間で解ける決定問題

これが答えになる理由

P には、グラフが連結かどうかの判定のように、決定性の多項式時間アルゴリズムをもつ決定問題が含まれます。

答え

D · 決定性アルゴリズムによって多項式時間で解ける決定問題
3.データ構造

答え: B · 固定サイズのキュー

これが答えになる理由

リングバッファは回り込む head と tail のインデックスを使い、固定メモリで O(1) の enqueue と dequeue を実現します。

答え

B · 固定サイズのキュー
4.データ構造

答え: C · 要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく

これが答えになる理由

要素数を使えば、空は count = 0、満杯は count = 容量 を意味します。空のスロットを 1 つ残す方法では、満杯を (rear + 1) mod n == front と定義します。

答え

C · 要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく
5.グラフ理論

答え: H = 12

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答え

H = 12
6.グラフ理論

答え: W = 48

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

GD (1): 取る
AC (3): 取る
BC (9): 取る
DE (10): 取る
CE (11): 取る
AB (13): 飛ばす（閉路ができる）
EF (14): 取る

重みの合計

W = 1 + 3 + 9 + 10 + 11 + 14 = 48

答え

W = 48

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