データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) の時間計算量は何ですか？

AO(log n)
BO(n²)
CO(n)
DO(n log n)

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

トポロジカルソートが可能なのは、次のどのグラフだけですか？

A無向グラフ
B有向非巡回グラフ（DAG）
C負の重みを持つグラフ
D完全グラフ

3.データ構造ふつう

高さを辺の数で数えるとき、高さ h の完全（perfect）二分木にはいくつのノードがありますか。

A2h + 1
Bh²
C2^h
D2^h+1 − 1

4.データ構造むずかしい

ソート済み連結リストと比べたスキップリストの主な利点は何ですか。

Aキーを順序なしで格納する
B複数レベルの前方ポインタにより期待値 O(log n) で探索できる
Cすべてのノードが他のすべてのノードへのポインタを持つので、O(1) の探索が保証される
D追加のメモリを使わない

5.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

6.グラフ理論むずかしい

プリム法は、頂点 E から始めて最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ek = 2

1辺 AB
2辺 AC
3辺 BC
4辺 BD
5辺 CE
6辺 DE
7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n log n)

これが答えになる理由

内側のループは n 回の外側の反復のそれぞれについて約 log₂ n 回実行されるので、O(n log n) になります。

答え

D · O(n log n)

2.アルゴリズムと計算量

答え: B · 有向非巡回グラフ（DAG）

これが答えになる理由

トポロジカル順序が存在するのは、有向グラフに閉路がない場合に限ります。DFS または Kahn のアルゴリズムで O(V + E) で求められます。

答え

B · 有向非巡回グラフ（DAG）

3.データ構造

答え: D · 2^h+1 − 1

これが答えになる理由

1 + 2 + 4 + ... + 2^h を合計すると 2^h+1 − 1 になります。たとえば高さ 2 では 7 個のノードです。

答え

D · 2^h+1 − 1

4.データ構造

答え: B · 複数レベルの前方ポインタにより期待値 O(log n) で探索できる

これが答えになる理由

ランダムに決まるレベルによって探索で多くのノードを飛ばせるため、探索・挿入・削除の期待計算量は O(log n) になります。

答え

B · 複数レベルの前方ポインタにより期待値 O(log n) で探索できる

5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

オイラー閉路

答え

オイラー閉路

6.グラフ理論

答え: 辺 BE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. DE (2)

2. BE (3)

3. BC (1)

4. AB (10)

辺の番号 2

答え

辺 BE

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