データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

n 要素の配列に対するマージソートの再帰は何段階になりますか？

A約 log₂ n
B約 √n
C約 n / 2
D約 n

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定問題 X が NP 完全であることを証明するには、どの 2 つのことを示さなければなりませんか？

AX が P の問題に帰着すること、および X が NP に属すること
BX が P に属すること、および X が SAT に帰着すること
CX が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
DX に多項式アルゴリズムがないこと、および X が決定可能であること

3.データ構造ふつう

2 つのスタックでキューを実装します。「in」スタックに push し、「out」スタックから pop し、「out」が空になったら「in」から補充します。1 回の操作あたりのならしコストはどれですか。

AO(n)
BO(1)
CO(n²)
DO(log n)

4.データ構造むずかしい

キー 5, 3, 8, 1 をこの順に、空の配列ベースの二分最小ヒープに挿入します。最終的な配列はどれですか。

A[3, 1, 8, 5]
B[1, 3, 8, 5]
C[1, 5, 8, 3]
D[1, 3, 5, 8]

5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₅ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₅

H =

6.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F

d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 約 log₂ n

これが答えになる理由

n から 1 まで半分にしていくには約 log₂ n 段階かかり、各段階で O(n) のマージ作業を行うので、O(n log n) になります。

答え

A · 約 log₂ n

2.アルゴリズムと計算量

答え: C · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること

これが答えになる理由

NP への所属は X が NP より難しくないことを示し、既知の NP 完全問題からの帰着は X が NP 全体と少なくとも同じくらい難しいことを示します。

答え

C · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること

3.データ構造

答え: B · O(1)

これが答えになる理由

各要素は合計で高々 2 回ずつ push と pop されるので、1 回の補充に O(n) かかることがあっても、操作列全体の平均は O(1) です。

答え

B · O(1)

4.データ構造

答え: B · [1, 3, 8, 5]

これが答えになる理由

5, 3, 8 の後、配列は [3, 5, 8] です。1 はインデックス 3 に入り、親の 5 と、次に 3 と交換されて [1, 3, 8, 5] になります。

答え

B · [1, 3, 8, 5]

5.グラフ理論

答え: H = 12

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答え

H = 12

6.グラフ理論

答え: d(F) = 21

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 14, C: 5

C (5): B: 7, E: 13

B (7)

E (13): D: 21, F: 21

D (21)

F (21)

最短経路

A → C → E → F

d(F) = 21

答え

d(F) = 21

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