データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

O(n²) のアルゴリズムは O(n³) でもあると言うのは正しいですか？

  1. Aはい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
  2. Bはい。ただし n が 100 より小さい場合に限る
  3. Cいいえ。Big O は常に関数の正確な増加率を述べなければならないから
  4. Dいいえ。n が大きいとき n³ は n² より小さいから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

巡回セールスマン問題はどのように分類されますか？

  1. A決定版は NP 完全で、最適化版は NP 困難である
  2. B決定不能である
  3. Cダイクストラ法がすべての都市を 1 回ずつ訪れて解くので、P に属する
  4. D決定版は P に属するが、最適化版は NP 完全である
3.データ構造ふつう

衝突したキーを同じバケット内のリストに格納する衝突解決法はどれですか。

  1. A二次探査法（Quadratic probing）
  2. B線形探査法（Linear probing）
  3. Cダブルハッシュ法（Double hashing）
  4. Dチェイン法（Separate chaining）
4.データ構造むずかしい

ある動的配列は満杯になるとサイズを 2 倍にします。多くの実装が、半分ではなく 4 分の 1 まで減ったときにだけ縮小するのはなぜですか。

  1. Aメモリアロケータはブロックの 4 分の 1 単位でしかメモリを解放できないから
  2. B半分で半減させると要素が失われるから
  3. C配列をソートされた状態に保つため
  4. D境界付近で push と pop が交互に起こるときに、サイズ変更が繰り返されるのを避けるため
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K7 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K7
H =
6.グラフ理論むずかしい
25141741097ABCDEF

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 5 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 5
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 DE
  6. 6辺 DF
  7. 7辺 EF
  8. 8辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから

これが答えになる理由

Big O は上界なので、この記述は正しいですがタイトではありません。正確な増加率を述べるのは Θ(n²) です。

答え

A · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · 決定版は NP 完全で、最適化版は NP 困難である

これが答えになる理由

「長さ k 以下の巡回路はあるか？」は NP 完全です。最短の巡回路を見つけることは少なくともそれと同じくらい難しいので NP 困難です。

答え

A · 決定版は NP 完全で、最適化版は NP 困難である
3.データ構造

答え: D · チェイン法（Separate chaining）

これが答えになる理由

チェイン法はバケットごとに連結リスト（または別の構造）を持ち、オープンアドレス法はテーブル内で別の空きスロットを探します。

答え

D · チェイン法（Separate chaining）
4.データ構造

答え: D · 境界付近で push と pop が交互に起こるときに、サイズ変更が繰り返されるのを避けるため

これが答えになる理由

半分で縮小すると、そのような操作列では毎回の操作でサイズ変更が起こりえます。4 分の 1 と満杯の間の幅があることで、ならしコストが O(1) に保たれます。

答え

D · 境界付近で push と pop が交互に起こるときに、サイズ変更が繰り返されるのを避けるため
5.グラフ理論

答え: H = 360

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360
6.グラフ理論

答え: 辺 EF

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. AB (2)
2. DE (4)
3. AC (5)
4. BE (7)
5. EF (9)

辺の番号 5

EF

答え

辺 EF

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