データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

長さ m と n の文字列の最長共通部分列を求める標準的な動的計画法の時間計算量は何ですか？

  1. AO(mn)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(m + n)
  4. DO(2m+n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

little-o 記法について正しい記述はどれですか？

  1. Aどの関数も自分自身の little-o なので、n = o(n)
  2. B2n はゆっくり増加するので、2n = o(n)
  3. Cn² = o(n)
  4. Dn = o(n²) だが、n は o(n) ではない
3.データ構造ふつう

AVL 木と赤黒木が保証するものは何ですか。

  1. Aキーが挿入順に格納されること
  2. B2 つの子を持つノードが存在しないこと
  3. Cどの場合でも定数時間での探索
  4. D再平衡化による O(log n) の高さ
4.データ構造むずかしい

赤黒木が満たさなければならない性質はどれですか。

  1. Aすべてのノードが赤でなければならない
  2. Bあるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい
  3. Cすべての赤ノードの子は赤でなければならないので、赤ノードは葉まで途切れなく連なる
  4. D根は赤でなければならない
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 4 個, 次数 4 の頂点が 3 個, 次数 5 の頂点が 2 個, 次数 2 の頂点が 4 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

4 × deg 33 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
1513320187171ABCDEF

プリム法は、頂点 E から始めて最小全域木をつくります。それが 5 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ek = 5
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 CE
  5. 5辺 DE
  6. 6辺 DF
  7. 7辺 EF
  8. 8辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(mn)

これが答えになる理由

表には (m + 1)(n + 1) 個のセルがあり、各セルは隣接するセルから O(1) で計算されます。

答え

A · O(mn)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · n = o(n²) だが、n は o(n) ではない

これが答えになる理由

f = o(g) は f(n) / g(n) が 0 に近づくことを意味します。n / n² は 0 に近づきますが、n / n = 1 は近づきません。

答え

D · n = o(n²) だが、n は o(n) ではない
3.データ構造

答え: D · 再平衡化による O(log n) の高さ

これが答えになる理由

自己平衡木は高さを対数オーダーに保つため、探索・挿入・削除は最悪の場合でも O(log n) です。

答え

D · 再平衡化による O(log n) の高さ
4.データ構造

答え: B · あるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい

これが答えになる理由

赤黒木の規則：ノードは赤か黒、根は黒、赤ノードの子は黒、すべての経路の黒高さが等しい。これにより高さは ≤ 2 log₂(n + 1) に保たれます。

答え

B · あるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい
5.グラフ理論

答え: L = 18

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 42 = 2(L + 13) − 2
L = 18

答え

L = 18

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: 辺 DF

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. BE (1)
2. BC (3)
3. AC (13)
4. EF (17)
5. DF (7)

辺の番号 5

DF

答え

辺 DF

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