データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) の解はどれですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

トポロジカルソートが可能なのは、次のどのグラフだけですか？

  1. A無向グラフ
  2. B有向非巡回グラフ（DAG）
  3. C負の重みを持つグラフ
  4. D完全グラフ
3.データ構造ふつう

V 個の頂点を持つグラフの隣接行列はどれだけのメモリを使いますか。

  1. AO(V²)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V + E)
4.データ構造むずかしい

トポロジカルソートのためのカーンのアルゴリズムは、入次数 0 の頂点を繰り返し取り除きます。それらの頂点を保持する構造はどれですか。

  1. A訪問したすべての辺のスタック
  2. B入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）
  3. Cどの頂点がすでに取り除かれたかを記録する隣接行列
  4. D出次数で順序づけた最大ヒープ
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
1714513212416ABCDEF

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n log n)

これが答えになる理由

マスター定理（master theorem）により（a = 2, b = 2, f(n) = n）、T(n) = Θ(n log n) です。

答え

B · O(n log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · 有向非巡回グラフ（DAG）

これが答えになる理由

トポロジカル順序が存在するのは、有向グラフに閉路がない場合に限ります。DFS または Kahn のアルゴリズムで O(V + E) で求められます。

答え

B · 有向非巡回グラフ（DAG）
3.データ構造

答え: A · O(V²)

これが答えになる理由

隣接行列は V × V 個の要素を格納し、密なグラフに効率的です。隣接リストは O(V + E) で、疎なグラフに適しています。

答え

A · O(V²)
4.データ構造

答え: B · 入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）

これが答えになる理由

準備の整った頂点はキューに保持されます。1 つ取り除くと隣接頂点の入次数が下がり、0 になったものが追加されるので、時間は O(V + E) になります。

答え

B · 入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

B, D → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: W = 38

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

DE (2): 取る
EF (4): 取る
BD (5): 取る
DF (12): 飛ばす（閉路ができる）
CE (13): 取る
AC (14): 取る

重みの合計

W = 2 + 4 + 5 + 13 + 14 = 38

答え

W = 38

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