データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n − 1) + O(n) の解は何ですか？

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

マスター定理を用いると、T(n) = 8T(n/2) + O(n²) の解はどれですか？

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.データ構造ふつう

二分ヒープに新しい要素はどのように挿入されますか。

  1. A根に置き、下へ移動させる（sift down）
  2. Bより大きい要素をすべて 1 つ右にずらして、ソートされた位置に挿入する
  3. C配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
  4. Dヒープ全体を一から作り直す
4.データ構造むずかしい

ランクによる併合（union by rank）と経路圧縮（path compression）を用いた union-find（素集合）構造の、1 操作あたりの償却コストはどれですか。

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(α(n))（逆アッカーマン関数）で、実用上は定数
  4. Dちょうど O(log n)
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
75943121312ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(n²)

これが答えになる理由

作業量の合計は約 n² / 2 で、これは選択ソートや、最悪のピボットを選んだクイックソートの漸化式です。

答え

C · O(n²)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · Θ(n³)

これが答えになる理由

log₂ 8 = 3 であり、n² は n³ より増加が遅いため、葉が支配的になります：Θ(n³)。

答え

A · Θ(n³)
3.データ構造

答え: C · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）

これが答えになる理由

末尾に追加することで木は完全なまま保たれ、親との交換によって O(log n) ステップで順序が回復します。

答え

C · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
4.データ構造

答え: C · O(α(n))（逆アッカーマン関数）で、実用上は定数

これが答えになる理由

両方の最適化を行うと、操作の償却時間は O(α(n)) になります。現実的なあらゆる n に対して α(n) ≤ 4 です。

答え

C · O(α(n))（逆アッカーマン関数）で、実用上は定数
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: d(F) = 20

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 7, C: 5
C (5): E: 8
B (7): D: 11
E (8): F: 20
D (11)
F (20)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 20

答え

d(F) = 20

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