データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n − 1) + O(n) の解は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフで、二分ヒープを用いたダイクストラ法の実行時間は何ですか？

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V³)
  4. DO((V + E) log V)
3.データ構造ふつう

実行中のプログラムが、有効な関数呼び出しとそのローカル変数を管理するために使うデータ構造はどれですか。

  1. Aフレームの二分探索木
  2. Bコールスタック
  3. Cヒープメモリのキュー
  4. D関数のハッシュテーブル
4.データ構造むずかしい

ダブルハッシュ法が主に軽減する線形探査法の問題はどれですか。

  1. Aキーをテーブルに格納する必要があること
  2. B使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
  3. Cキーの値を読み取る O(n) のコスト
  4. Dハッシュ関数が必要であること
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 3 個, 次数 5 の頂点が 3 個, 次数 2 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 33 × deg 52 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
1594214154ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n²)

これが答えになる理由

作業量の合計は約 n² / 2 で、これは選択ソートや、最悪のピボットを選んだクイックソートの漸化式です。

答え

B · O(n²)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · O((V + E) log V)

これが答えになる理由

V 回の最小値取り出しと最大 E 回のキー減少操作があり、それぞれ O(log V) です。フィボナッチヒープを使うと O(E + V log V) に改善されます。

答え

D · O((V + E) log V)
3.データ構造

答え: B · コールスタック

これが答えになる理由

各呼び出しはスタックフレームを push し、各リターンはそれを pop します。そのため最も新しい呼び出しが最初に終了します。

答え

B · コールスタック
4.データ構造

答え: B · 使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング

これが答えになる理由

線形探査法は 1 ずつ進むので、使用中の連なりが大きくなって合体します。ダブルハッシュ法は 2 つ目のハッシュを刻み幅に使うので、異なるキーは異なる系列を探査します。

答え

B · 使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
5.グラフ理論

答え: L = 14

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

答え

L = 14

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 20

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 1, C: 5
B (1): E: 5
C (5)
E (5): D: 7, F: 20
D (7)
F (20)

最短経路

A → B → E → F
d(F) = 20

答え

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms