データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

活動選択問題で、重ならない活動の数を常に最大にする貪欲な規則はどれですか？

  1. A最も早く始まる活動を選ぶ
  2. B重なりの最も少ない活動を先に選び、両立する活動で繰り返す
  3. C最も短い活動から選ぶ
  4. D最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

動的計画法で解く 0/1 ナップサック問題は O(nW) 時間かかります。これが擬多項式（pseudo-polynomial）と呼ばれるのはなぜですか？

  1. AW = 0 の場合にしか動作しないから
  2. BW は数値なので、実行時間は W を書くのに使うビット数に対して指数的になるから
  3. Cアルゴリズムが乱択（randomised）で、実行時間が入力ごとに変わるから
  4. Dn が常に小さいから
3.データ構造ふつう

AVL 木はすべてのノードでどのような平衡条件を保っていますか。

  1. A左右の部分木の高さの差が高々 1 である
  2. Bすべての葉がちょうど同じ深さにある
  3. Cすべてのノードが赤または黒に塗られている
  4. Dすべてのノードの両方の部分木が、まったく同じ数のノードを含む
4.データ構造むずかしい

基数木（radix tree、圧縮トライ）は通常のトライをどのように改良していますか。

  1. A子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる
  2. B各単語の最初の文字だけを保持する
  3. C各ノードの子を頻度順にソートする
  4. D各単語を別々のノードではなく、根にあるハッシュテーブルに格納する
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 13 個の頂点と 13 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 13|E| = 13
k =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDE

C を始点かつ終点とする、長さ 3 の閉じた歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 3
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す

これが答えになる理由

最も早い終了時刻を選ぶことは交換論法によって最適であると証明できます。他の規則には反例があります。

答え

D · 最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · W は数値なので、実行時間は W を書くのに使うビット数に対して指数的になるから

これが答えになる理由

実行時間は W の値に対しては多項式ですが、その長さ（log W ビット）に対しては指数的です。0/1 ナップサック問題は NP 完全です。

答え

B · W は数値なので、実行時間は W を書くのに使うビット数に対して指数的になるから
3.データ構造

答え: A · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である

これが答えになる理由

平衡係数（左の高さ − 右の高さ）は −1、0、1 のいずれかでなければなりません。挿入と削除の後は回転によってこれを回復します。

答え

A · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である
4.データ構造

答え: A · 子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる

これが答えになる理由

分岐のない経路をまとめることで、接頭辞検索を保ったまま、ノードの数と使用メモリを減らします。

答え

A · 子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる
5.グラフ理論

答え: k = 1

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

13 − 1 = 12

取り除く辺

k = 13 − 12 = 1

答え

k = 1
6.グラフ理論

答え: N = 2

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

もう 1 歩

(M³)CC = 1·1 + 1·1 + 3·0 + 2·0 + 0·1 = 2

答え

N = 2

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