データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

n 要素の配列を一度ソートし、その後 k 回の所属判定クエリに二分探索で答えます。全体のコストは何ですか？

  1. AO(n + k)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(nk)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定不能な問題と扱いにくい問題の違いは何ですか？

  1. A決定不能な問題は NP に属し、扱いにくい問題は P に属する
  2. B扱いにくい問題はどのアルゴリズムでも解けず、決定不能な問題は指数時間を必要とするだけである
  3. C決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
  4. Dどちらもアルゴリズムがまったくないことを意味する
3.データ構造ふつう

リストの中ほどにあるノードへの参照をもっています。どのリストなら、それを O(1) で削除できますか。

  1. Aソート済み配列
  2. B動的配列
  3. C双方向連結リスト
  4. D単方向連結リスト
4.データ構造むずかしい

トポロジカルソートのためのカーンのアルゴリズムは、入次数 0 の頂点を繰り返し取り除きます。それらの頂点を保持する構造はどれですか。

  1. A出次数で順序づけた最大ヒープ
  2. Bどの頂点がすでに取り除かれたかを記録する隣接行列
  3. C訪問したすべての辺のスタック
  4. D入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
11711131493127ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(n log n + k log n)

これが答えになる理由

ソートのコストは O(n log n)、各クエリは O(log n) です。k が大きいとき、これは k 回の線形走査（O(nk)）より優れています。

答え

C · O(n log n + k log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる

これが答えになる理由

停止問題にはアルゴリズムがまったくありません。TSP のような NP 困難な問題は総当たりで解けますが、既知の多項式時間では解けません。

答え

C · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
3.データ構造

答え: C · 双方向連結リスト

これが答えになる理由

双方向連結リストのノードは前のノードを知っているので、prev と next を直接つなぎ直せます。単方向連結リストでは前のノードを探さなければなりません。

答え

C · 双方向連結リスト
4.データ構造

答え: D · 入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）

これが答えになる理由

準備の整った頂点はキューに保持されます。1 つ取り除くと隣接頂点の入次数が下がり、0 になったものが追加されるので、時間は O(V + E) になります。

答え

D · 入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: d(F) = 20

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 1, C: 1
B (1): D: 12
C (1): E: 14, G: 4
G (4): E: 11
E (11): F: 20
D (12)
F (20)

最短経路

A → C → G → E → F
d(F) = 20

答え

d(F) = 20

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