データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

多くのライブラリのソート関数が、非常に小さな部分配列では挿入ソートに切り替えるのはなぜですか？

A挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから
B再帰アルゴリズムは 10 要素未満の配列を扱えないから
C大きな入力では、挿入ソートは他のどのソートアルゴリズムよりメモリが少なくて済むから
D挿入ソートは最悪の場合 O(n log n) だから

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

シュトラッセンのアルゴリズムは、半分のサイズのブロックの再帰的な掛け算を 8 回ではなく 7 回にして行列を掛けます。実行時間は何ですか？

AΘ(n² log n)
BΘ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81
CΘ(n²)
DΘ(n³)

3.データ構造ふつう

インデックス 0 から始まる配列に格納された二分ヒープで、インデックス i のノードの親はどこにありますか。

Aインデックス 2i + 1
Bインデックス ⌊(i − 1) / 2⌋
Cインデックス i − 1
Dインデックス ⌊i / 2⌋ + 1

4.データ構造むずかしい

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、削除に「墓標」（tombstone）マーカーがよく使われるのはなぜですか。

Aテーブルがソートされた状態になるから
B墓標がハッシュ計算を高速化するから
Cスロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
D安全のため削除したキーを永久に保持する必要があり、スロットを再利用できないから

5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₅ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₅

H =

6.グラフ理論むずかしい

C から E への長さ 2 の歩道はいくつありますか？歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2

N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから

これが答えになる理由

n が小さいときは、O(n²) であっても、挿入ソートの単純なループの方がクイックソートやマージソートの再帰のオーバーヘッドより速くなります。

答え

A · 挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから

2.アルゴリズムと計算量

答え: B · Θ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81

これが答えになる理由

a = 7、b = 2 で、n^{log₂ 7} が O(n²) の加算の作業量より支配的なので、約 n^2.81 になります。

答え

B · Θ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81

3.データ構造

答え: B · インデックス ⌊(i − 1) / 2⌋

これが答えになる理由

i の子は 2i + 1 と 2i + 2 にあるので、i の親は ⌊(i − 1) / 2⌋ です。1 から始まるインデックスでは ⌊i / 2⌋ になります。

答え

B · インデックス ⌊(i − 1) / 2⌋

4.データ構造

答え: C · スロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから

これが答えになる理由

削除したスロットが空になると、その後の探索が途中で止まり、探査チェーンのさらに先に配置されたキーを見逃すおそれがあります。

答え

C · スロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから

5.グラフ理論

答え: H = 12

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答え

H = 12

6.グラフ理論

答え: N = 1

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。K_n には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 0 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 0 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)_CE = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 1·0 = 1

答え

N = 1

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