データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n − 1) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

次の充足可能性問題のうち、多項式時間で解けることが知られているのはどれですか？

  1. A回路充足可能性問題
  2. B各節のリテラルがちょうど 3 個の 3-SAT
  3. C各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT
  4. D連言標準形の式に対する一般の SAT
3.データ構造ふつう

あるアプリケーションには高速な検索が必要で、さらにキーをソート順に一覧にしたり、範囲クエリに答えたりする必要もあります。最も適した構造はどれですか。

  1. Aスタック
  2. B平衡二分探索木
  3. Cソートされていない連結リスト
  4. Dハッシュテーブル
4.データ構造むずかしい

配列のサイズ k のすべてのウィンドウの最大値を合計 O(n) で計算できる構造はどれですか。

  1. Aウィンドウごとに作り直す最小ヒープ
  2. Bウィンドウの要素の単方向連結リスト
  3. Cずらすことで更新するソート済み配列
  4. D値の降順にインデックスを保持するデック
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
61310132141011ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n)

これが答えになる理由

配列の再帰的な総和のように、定数の作業量をもつ段階が n 個あります。

答え

D · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT

これが答えになる理由

2-SAT は P に属します（強連結成分を用いて線形時間）。一方、3-SAT は NP 完全です。

答え

C · 各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT
3.データ構造

答え: B · 平衡二分探索木

これが答えになる理由

平衡 BST は O(log n) の検索を提供し、キーを順序づけて保つので、通りがけ順の走査や範囲クエリが容易です。ハッシュテーブルはキーをばらばらに配置します。

答え

B · 平衡二分探索木
4.データ構造

答え: D · 値の降順にインデックスを保持するデック

これが答えになる理由

デックの先頭は常にウィンドウの最大値です。各インデックスはデックに 1 回入って 1 回出るので、作業量は線形です。

答え

D · 値の降順にインデックスを保持するデック
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

A, C → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 29

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 6, C: 13
B (6): D: 19, E: 17
C (13): E: 15
E (15)
D (19): F: 29
F (29)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 29

答え

d(F) = 29

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