データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

あるクイックソートは常に最初の要素をピボットに使います。どの入力で最悪の振る舞いを示しますか？

  1. Aすでにソートされている配列
  2. Bすべての要素が異なる配列
  3. Cランダムな順序の配列
  4. D長さ 2 の配列
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ヘルド－カープの動的計画法アルゴリズムは巡回セールスマン問題を厳密に解きます。n 都市に対する実行時間は何ですか？

  1. AO(n² 2ⁿ)
  2. BO(n³)
  3. CO(n!)
  4. DO(2n²)
3.データ構造ふつう

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、負荷率の最大値はいくつですか。

  1. A1
  2. B2
  3. C最大値はない
  4. D0.5
4.データ構造むずかしい

get と put が O(1) の LRU（least recently used）キャッシュを実現できるデータ構造はどれですか。

  1. A二分探索木のみ
  2. Bハッシュマップと双方向連結リストの組み合わせ
  3. C単一のソート済み配列
  4. Dスタックのみ
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
131041512220ABCDE

プリム法は、頂点 B から始めて最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Bk = 2
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · すでにソートされている配列

これが答えになる理由

ソート済みの入力ではピボットが常に最小値になるので、一方は空、もう一方は n − 1 個の要素となり、O(n²) になります。

答え

A · すでにソートされている配列
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n² 2ⁿ)

これが答えになる理由

状態は約 n 2ⁿ 個あり、それぞれ O(n) で計算されます。これは指数時間ですが、(n − 1)! 通りの巡回路をすべて試すよりはるかに速いです。

答え

A · O(n² 2ⁿ)
3.データ構造

答え: A · 1

これが答えになる理由

オープンアドレス法ではすべてのキーがテーブル自体に格納されるので、n は m を超えられません。チェイン法では負荷率が 1 を超えることがあります。

答え

A · 1
4.データ構造

答え: B · ハッシュマップと双方向連結リストの組み合わせ

これが答えになる理由

ハッシュマップでノードを O(1) で見つけ、双方向連結リストでアクセスした要素を先頭へ移動し、末尾から追い出す処理を O(1) で行います。

答え

B · ハッシュマップと双方向連結リストの組み合わせ
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: 辺 AC

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. BC (4)
2. AC (10)
3. CE (12)
4. DE (2)

辺の番号 2

AC

答え

辺 AC

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