データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

到達可能な基底部をもたない再帰関数について、正しい記述はどれですか？

  1. A自動的に 0 を返す
  2. BO(1) 時間で動作する
  3. Cコンパイラが常にそれを、安全に終了するループに変換する
  4. Dコールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

巡回セールスマン問題はどのように分類されますか？

  1. A決定版は NP 完全で、最適化版は NP 困難である
  2. B決定版は P に属するが、最適化版は NP 完全である
  3. Cダイクストラ法がすべての都市を 1 回ずつ訪れて解くので、P に属する
  4. D決定不能である
3.データ構造ふつう

隣接行列を使って辺 (u, v) が存在するかを調べるのにどれだけ時間がかかりますか。

  1. AO(V)
  2. BO(1)
  3. CO(log V)
  4. DO(E)
4.データ構造むずかしい

二分ヒープにおける decrease-key（要素の位置が分かっている場合）の時間計算量はどれですか。

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K8 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K8
H =
6.グラフ理論むずかしい
6211681814ABCDE

プリム法は、頂点 A から始めて最小全域木をつくります。それが 3 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ak = 3
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · コールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける

これが答えになる理由

基底部がないと再帰は決して止まりません。実際にはスタックフレーム用のメモリが尽き、プログラムがクラッシュします。

答え

D · コールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · 決定版は NP 完全で、最適化版は NP 困難である

これが答えになる理由

「長さ k 以下の巡回路はあるか？」は NP 完全です。最短の巡回路を見つけることは少なくともそれと同じくらい難しいので NP 困難です。

答え

A · 決定版は NP 完全で、最適化版は NP 困難である
3.データ構造

答え: B · O(1)

これが答えになる理由

行 u、列 v の要素を見れば、辺が存在するかどうかがすぐにわかります。隣接リストでは u の隣接頂点を走査する必要があるかもしれません。

答え

B · O(1)
4.データ構造

答え: B · O(log n)

これが答えになる理由

キーを減らした後、要素は最大でヒープの高さ分だけ上へ移動します（sift up）。フィボナッチヒープでは償却 O(1) の decrease-key が実現できます。

答え

B · O(log n)
5.グラフ理論

答え: H = 2520

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答え

H = 2520
6.グラフ理論

答え: 辺 CE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. AC (2)
2. BC (1)
3. CE (8)
4. BD (16)

辺の番号 3

CE

答え

辺 CE

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