データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

O(log n) のように、Big O で対数の底が通常省略されるのはなぜですか？

  1. A対数は常に整数に丸められるから
  2. B底は n が小さいときにしか問題にならないから
  3. C底の異なる対数は定数倍しか違わないから
  4. D計算機科学のすべての対数は底が 10 なので、省略されているから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ベルマン－フォード法は、始点から到達可能な負の重みの閉路をどのように検出しますか？

  1. Aダイクストラ法を 2 回実行し、2 つの距離の結果を比べる
  2. B負の重みをもつ辺があるかどうかを調べる
  3. C深さ優先探索で閉路を数える
  4. DV − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる
3.データ構造ふつう

サイズ 7 のハッシュテーブルが h(k) = k mod 7 と線形探査法を使っています。10 を挿入した後、17 はどこに格納されますか。

  1. Aインデックス 6
  2. Bインデックス 3
  3. Cインデックス 0
  4. Dインデックス 4
4.データ構造むずかしい

O(1) の追加メモリで、単方向連結リストが閉路を含むかどうかを検出するにはどうすればよいですか。

  1. Aリストをソートして重複を探す
  2. B数がリストの長さのフィールドを超えるまでノードを数える
  3. C訪問したすべてのノードをハッシュ集合に格納する
  4. D一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K7 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K7
H =
6.グラフ理論むずかしい
566171546129ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 底の異なる対数は定数倍しか違わないから

これが答えになる理由

底を変えると対数は定数倍されるだけで、Big O は定数倍を無視します。

答え

C · 底の異なる対数は定数倍しか違わないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · V − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる

これが答えになる理由

真の最短距離はすべて V − 1 回のラウンド以内に見つかります。それでも改善できる辺があれば、負の閉路が存在するはずです。

答え

D · V − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる
3.データ構造

答え: D · インデックス 4

これが答えになる理由

10 mod 7 = 3、17 mod 7 = 3 です。インデックス 3 は使われているので、線形探査法は次のスロットであるインデックス 4 を試します。

答え

D · インデックス 4
4.データ構造

答え: D · 一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる

これが答えになる理由

フロイドのアルゴリズムでは、閉路があれば速いポインタがいずれ遅いポインタに追いつきます。そうでなければ速いポインタは null に到達します。

答え

D · 一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: H = 360

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360
6.グラフ理論

答え: d(F) = 11

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 5, C: 6
B (5): G: 11
C (6): E: 7
E (7): D: 14, F: 11
F (11)
G (11)
D (14)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 11

答え

d(F) = 11

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