データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

比較に基づくソートの最悪の場合の下界はどれですか？

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

クラス NP の定義として正しいものはどれですか？

  1. A多項式でない問題
  2. B証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題
  3. Cどのアルゴリズムでも解けない問題
  4. D多項式時間で解けない問題
3.データ構造ふつう

トライ（接頭辞木）が特に効率的なのはどのような用途ですか。

  1. A行列の格納
  2. B最短経路の探索
  3. Cオートコンプリートなどの接頭辞検索
  4. D数値のソート
4.データ構造むずかしい

クラスカルの最小全域木アルゴリズムで、union-find 構造は何に使われますか。

  1. A辺を重みの順にソートする
  2. B探索中に、各頂点の始点からの現在の距離を格納する
  3. C開始頂点を選ぶ
  4. D辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 7
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
8911191034ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · Ω(n log n)

これが答えになる理由

どの比較ソートも、最悪の場合に少なくとも log₂(n!) ≈ n log n 回の比較が必要です。計数ソートは比較を行わないため、この下界を下回ることができます。

答え

B · Ω(n log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · 証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題

これが答えになる理由

NP の問題では、たとえば与えられた割り当てがブール式を充足することの確認のように、提案された解（証拠）をすばやく検証できます。

答え

B · 証拠（certificate）が与えられれば、「はい」の答えを多項式時間で検証できる決定問題
3.データ構造

答え: C · オートコンプリートなどの接頭辞検索

これが答えになる理由

トライは文字列を経路上の文字として格納するため、検索や接頭辞クエリはキーの長さに比例する時間で済みます。

答え

C · オートコンプリートなどの接頭辞検索
4.データ構造

答え: D · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる

これが答えになる理由

find で両端点が同じ連結成分にあるかどうかがわかります。同じでなければ辺を加え、union で連結成分を併合します。

答え

D · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇数次数の頂点

C, E → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 19

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 8, C: 9
B (8): G: 18
C (9): E: 10
E (10): D: 11, F: 19, G: 14
D (11)
G (14)
F (19)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 19

答え

d(F) = 19

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