データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフで、二分ヒープを用いたダイクストラ法の実行時間は何ですか？

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V³)
  4. DO(V + E)
3.データ構造ふつう

高さを辺の数で数えるとき、高さ h の完全（perfect）二分木にはいくつのノードがありますか。

  1. A2h+1 − 1
  2. B2h
  3. Ch2
  4. D2h + 1
4.データ構造むずかしい

ソート済み連結リストと比べたスキップリストの主な利点は何ですか。

  1. A追加のメモリを使わない
  2. Bすべてのノードが他のすべてのノードへのポインタを持つので、O(1) の探索が保証される
  3. Cキーを順序なしで格納する
  4. D複数レベルの前方ポインタにより期待値 O(log n) で探索できる
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 7 個の頂点と 14 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 7|E| = 14
k =
6.グラフ理論むずかしい
594911113411ABCDEFG

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 4 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(n)

これが答えになる理由

マスター定理により nlog₂ 2 = n が定数の作業量より支配的なので、半分に分割して最大値を求める場合のように T(n) = Θ(n) です。

答え

C · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · O((V + E) log V)

これが答えになる理由

V 回の最小値取り出しと最大 E 回のキー減少操作があり、それぞれ O(log V) です。フィボナッチヒープを使うと O(E + V log V) に改善されます。

答え

A · O((V + E) log V)
3.データ構造

答え: A · 2h+1 − 1

これが答えになる理由

1 + 2 + 4 + ... + 2h を合計すると 2h+1 − 1 になります。たとえば高さ 2 では 7 個のノードです。

答え

A · 2h+1 − 1
4.データ構造

答え: D · 複数レベルの前方ポインタにより期待値 O(log n) で探索できる

これが答えになる理由

ランダムに決まるレベルによって探索で多くのノードを飛ばせるため、探索・挿入・削除の期待計算量は O(log n) になります。

答え

D · 複数レベルの前方ポインタにより期待値 O(log n) で探索できる
5.グラフ理論

答え: k = 8

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

7 − 1 = 6

取り除く辺

k = 14 − 6 = 8

答え

k = 8
6.グラフ理論

答え: E

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 5
2. B (5): C: 14, D: 9
3. D (9): E: 10, F: 20, G: 13
4. E (10)
5. G (13)
6. C (14)
7. F (20)

ラウンド 4

E

答え

E

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