データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

貪欲法（greedy algorithm）の説明として正しいものはどれですか？

  1. A再帰のみを使用する
  2. B常に最適解を与える
  3. C各ステップで局所的に最良の選択をする
  4. D可能なすべての解を試す
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

単方向連結リストでは、二分探索が O(log n) 時間にならないのはなぜですか？

  1. A連結リストのノードでの比較は遅いから
  2. B連結リストはソートできないから
  3. C二分探索には少なくとも 2 倍のメモリが必要だから
  4. Dインデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
3.データ構造ふつう

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフについて、隣接リストはどれだけのメモリを使いますか。

  1. AO(E²)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V²)
  4. DO(V × E)
4.データ構造むずかしい

n 個の数からなるストリームから、O(k) のメモリで最小の k 個の値を保持しなければなりません。O(n log k) 時間で動作する方法はどれですか。

  1. An 個すべての値を保持する最小ヒープで、最後に小さい方から k 個を取り出す
  2. Bn 個すべての値のソート済み配列
  3. Cサイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える
  4. D最後の k 個の値の FIFO キュー
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 4 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

4 × deg 3
L =
6.グラフ理論むずかしい
101311659515ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · 各ステップで局所的に最良の選択をする

これが答えになる理由

貪欲法は高速で、一部の問題（例：Dijkstra、Huffman 符号化）では最適ですが、一般にはそうではありません（例：ある硬貨体系での両替問題）。

答え

C · 各ステップで局所的に最良の選択をする
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから

これが答えになる理由

二分探索には中央への O(1) のアクセスが必要です。連結リストではそこまでたどるのに線形時間がかかるので、全体は O(n) になります。

答え

D · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
3.データ構造

答え: B · O(V + E)

これが答えになる理由

各頂点がリストをもち、各辺は 1 回（有向）または 2 回（無向）現れるので、O(V + E) になります。

答え

B · O(V + E)
4.データ構造

答え: C · サイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える

これが答えになる理由

最大ヒープの根は保持している値の最大値です。それより小さい新しい値は O(log k) でそれと置き換わるので、ヒープは常にそれまでの最小の k 個を保持します。

答え

C · サイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える
5.グラフ理論

答え: L = 6

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

答え

L = 6

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 24

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 10, C: 13
B (10): D: 21, E: 25
C (13): E: 19
E (19): F: 24
D (21)
F (24)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 24

答え

d(F) = 24

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