データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

プリム法は最小全域木をどのように構築しますか？

  1. Aすべての辺を重みでソートし、森の中で閉路をつくる場合を除いて 1 本ずつ加える
  2. B開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える
  3. C幅優先探索を実行し、BFS 木を残す
  4. D閉路がなくなるまで最も高い辺を取り除く
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ハッシュテーブルの平均探索時間が O(1) なのに、最悪の場合は O(n) になるのはなぜですか？

  1. Aハッシュ関数が遅いから
  2. B多くのキーが同じバケットで衝突（collision）する可能性があるから
  3. C配列のアクセスが O(n) だから
  4. Dキーを先にソートする必要があるから
3.データ構造ふつう

リストの中ほどにあるノードへの参照をもっています。どのリストなら、それを O(1) で削除できますか。

  1. A動的配列
  2. Bソート済み配列
  3. C双方向連結リスト
  4. D単方向連結リスト
4.データ構造むずかしい

標準的なブルームフィルタから、ビットをクリアするだけで要素を削除できないのはなぜですか。

  1. A削除すると偽陽性率が 100% に上がるから
  2. Bそれらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから
  3. Cブルームフィルタのビットは作成後に変更できないから
  4. Dブルームフィルタは要素全体を格納しており、いったんハッシュ化されると再び見つけられないから
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 8
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
75761513128ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える

これが答えになる理由

木をまたぐ辺の優先度付きキューを用いるプリム法は、二分ヒープを使うと O(E log V) で動作します。

答え

B · 開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · 多くのキーが同じバケットで衝突（collision）する可能性があるから

これが答えになる理由

良いハッシュ関数と負荷率（load factor）であれば、バケットは平均して短く保たれます。悪意のある入力や質の悪いハッシュでは、すべてのキーが一つのバケットに入ることがあります。

答え

B · 多くのキーが同じバケットで衝突（collision）する可能性があるから
3.データ構造

答え: C · 双方向連結リスト

これが答えになる理由

双方向連結リストのノードは前のノードを知っているので、prev と next を直接つなぎ直せます。単方向連結リストでは前のノードを探さなければなりません。

答え

C · 双方向連結リスト
4.データ構造

答え: B · それらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから

これが答えになる理由

共有されたビットをクリアすると、別の要素が存在しないように見えてしまいます。カウンティング・ブルームフィルタは削除を可能にするために、ビットの代わりにカウンタを保持します。

答え

B · それらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから
5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

奇数次数の頂点

C, D, E, F → 4
どちらでもない

答え

どちらでもない
6.グラフ理論

答え: d(F) = 26

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 7, C: 5
C (5): E: 20
B (7): D: 13, E: 15
D (13): F: 26
E (15)
F (26)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 26

答え

d(F) = 26

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