データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ワーシャル－フロイド法は何を、どれくらいの速さで計算しますか？

  1. A1 つの始点から他のすべての頂点への最短経路を O(V + E) で
  2. Bトポロジカル順序を O(V²) で
  3. C最小全域木を O(E log V) で
  4. Dすべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) do O(1) work の時間計算量は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n √n)
3.データ構造ふつう

インデックス 0 から始まる配列に格納された二分ヒープで、インデックス i のノードの親はどこにありますか。

  1. Aインデックス ⌊i / 2⌋ + 1
  2. Bインデックス ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. Cインデックス 2i + 1
  4. Dインデックス i − 1
4.データ構造むずかしい

標準的なブルームフィルタから、ビットをクリアするだけで要素を削除できないのはなぜですか。

  1. Aブルームフィルタは要素全体を格納しており、いったんハッシュ化されると再び見つけられないから
  2. B削除すると偽陽性率が 100% に上がるから
  3. Cブルームフィルタのビットは作成後に変更できないから
  4. Dそれらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 10 個の頂点と 10 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 10|E| = 10
k =
6.グラフ理論むずかしい
114151111371513714ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · すべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で

これが答えになる理由

ワーシャル－フロイド法は、各頂点を順に中継点として許していく動的計画法のアルゴリズムで、O(V³) 時間を使います。

答え

D · すべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n log n)

これが答えになる理由

合計は n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn で、調和数 Hn は Θ(log n) です。

答え

B · O(n log n)
3.データ構造

答え: B · インデックス ⌊(i − 1) / 2⌋

これが答えになる理由

i の子は 2i + 1 と 2i + 2 にあるので、i の親は ⌊(i − 1) / 2⌋ です。1 から始まるインデックスでは ⌊i / 2⌋ になります。

答え

B · インデックス ⌊(i − 1) / 2⌋
4.データ構造

答え: D · それらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから

これが答えになる理由

共有されたビットをクリアすると、別の要素が存在しないように見えてしまいます。カウンティング・ブルームフィルタは削除を可能にするために、ビットの代わりにカウンタを保持します。

答え

D · それらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから
5.グラフ理論

答え: k = 1

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

10 − 1 = 9

取り除く辺

k = 10 − 9 = 1

答え

k = 1
6.グラフ理論

答え: d(F) = 25

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 11, C: 4
C (4): E: 15, G: 17
B (11): D: 22
E (15): D: 18
G (17)
D (18): F: 25
F (25)

最短経路

A → C → E → D → F
d(F) = 25

答え

d(F) = 25

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