データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

満杯になると容量を2倍にする動的配列に要素を追加する操作の償却（amortised）時間計算量は何ですか？

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

巡回セールスマン問題はどのように分類されますか？

  1. A決定版は P に属するが、最適化版は NP 完全である
  2. B決定不能である
  3. C決定版は NP 完全で、最適化版は NP 困難である
  4. Dダイクストラ法がすべての都市を 1 回ずつ訪れて解くので、P に属する
3.データ構造ふつう

V 個の頂点を持つグラフの隣接行列はどれだけのメモリを使いますか。

  1. AO(E)
  2. BO(log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V²)
4.データ構造むずかしい

循環バッファでは、front == rear は空と満杯のどちらも意味しえます。これらを区別する一般的な方法はどれですか。

  1. Afront と rear が等しいときは常にバッファをクリアして、空の状態にする
  2. B要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく
  3. Cバッファのサイズを 2 のべき乗にする
  4. Dfront と rear を同じ変数に格納する
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 7 個の頂点と 9 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 7|E| = 9
k =
6.グラフ理論むずかしい
519171114159161310ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 11
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(1)

これが答えになる理由

全要素のコピーは要素数が2のべき乗のときにしか起こらず、すべての追加操作に分散させると、1回あたりの平均コストは定数になります。

答え

A · O(1)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 決定版は NP 完全で、最適化版は NP 困難である

これが答えになる理由

「長さ k 以下の巡回路はあるか？」は NP 完全です。最短の巡回路を見つけることは少なくともそれと同じくらい難しいので NP 困難です。

答え

C · 決定版は NP 完全で、最適化版は NP 困難である
3.データ構造

答え: D · O(V²)

これが答えになる理由

隣接行列は V × V 個の要素を格納し、密なグラフに効率的です。隣接リストは O(V + E) で、疎なグラフに適しています。

答え

D · O(V²)
4.データ構造

答え: B · 要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく

これが答えになる理由

要素数を使えば、空は count = 0、満杯は count = 容量 を意味します。空のスロットを 1 つ残す方法では、満杯を (rear + 1) mod n == front と定義します。

答え

B · 要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく
5.グラフ理論

答え: k = 3

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

7 − 1 = 6

取り除く辺

k = 9 − 6 = 3

答え

k = 3
6.グラフ理論

答え: W = 47

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

BC (1): 取る
AB (5): 取る
BD (7): 取る
GB (9): 取る
GE (10): 取る
CE (11): 飛ばす（閉路ができる）
GD (13): 飛ばす（閉路ができる）
DE (14): 飛ばす（閉路ができる）
EF (15): 取る

重みの合計

W = 1 + 5 + 7 + 9 + 10 + 15 = 47

答え

W = 47

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